NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
25 tháng 7 2018
I don't now
mik ko biết
sorry
......................
26 tháng 7 2018
1. \(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\le a^2+b^2\) ( \(\forall a;b\))
2. \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)( \(\forall a;b>0\))
3. \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)\(\left(a;b>0\right)\)
4. \(\frac{1}{ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\) \(\left(a;b>0\right)\)
5. \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\)
6. \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
7. \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
8. \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) \(\left(a;b;c>0\right)\)
9. \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)\(\left(x;y>0\right)\)
10. \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) \(\left(x;y;z>0\right)\)
4 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\). Thiếp lập 2 BĐT còn lại:
\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}\right);\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
HT
1
30 tháng 7 2021
Chứng minh \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}với\left(x;y;z>0\right)\)
Thường thì sẽ sử dụng cái này nhiều nhất
Đầu tiên đi chứng minh
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}\\ \Leftrightarrow a^2xy+\left(bx\right)^2+\left(ay\right)^2+b^2xy\ge a^2xy+2abxy+b^2xy\\ \Leftrightarrow\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2-2abxy\ge0\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
Áp dụng 1 lần nữa ta có điều ở trên
Dấu $=$ xảy ra $⇔\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$
NM
3
VT
12 tháng 7 2018
xét a=0=> BĐT luôn đúng
Xét a #o, ta có
\(a^4+1\ge2\sqrt{a^4}=2a^2>0\left(vi:a\ne0\right)\) => \(\frac{1}{a^4+1}\le\frac{1}{2a^2}\Rightarrow\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)(ĐPCM)
Dấu = xảy ra <=> \(a=\pm1\)
^_^
LX
2
11 tháng 11 2016
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)+\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
11 tháng 11 2016
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+zx\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{2}\left(y-z\right)^2+\frac{1}{2}\left(z-x\right)^2\ge0\)Luôn đúng ( đpcm )
dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z
HT
1
HN
1
24 tháng 6 2018
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
<=>\(x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)
<=>\(\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)
<=>\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)