Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
EM tham khảo phần đầu ở link: Câu hỏi của Đinh Nguyến Nhật Minh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Trong 3 số a,b, c có hai số đối nhau g/s 2 số đó là a và b kho đó a=-b
=> \(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=-\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\)
và \(\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{-b^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\)
Do đó: \(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}\)
Ta có: \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right).\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{2}{ab}-\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}-\frac{2}{bc}\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)(1)
Mặt khác \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2.\frac{c+b-a}{abc}\)
\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\)(vì a=b+c) (2)
Từ (1) và (2) Suy ra
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|.\)
Do a,b,c là các số hữu tỉ khác 0 nên \(|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|\)là một số hữu tỉ
Từ đây ta có điều phải chứng minh
\(1.\)\(a^3b^3\left(a^2-ab+b^2\right)\le\frac{\left(a+b\right)^8}{256}\)
\(\Leftrightarrow a^3b^3\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^9}{256}\)
\(\Leftrightarrow a^3b^3\left(a+b\right)^3\left(a^3+b^3\right)\le\frac{\left(a+b\right)^{12}}{256}\)
\(VT=ab\left(a+b\right).ab\left(a+b\right).ab\left(a+b\right).\left(a^3+b^3\right)\)
\(\le\left(\frac{ab\left(a+b\right)+ab\left(a+b\right)+ab\left(a+b\right)+\left(a^3+b^3\right)}{4}\right)^4\)
\(\le\frac{\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)^4}{256}\)
\(\le\frac{\left(a+b\right)^{12}}{256}\left(đpcm\right).\)
\(2.\) \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)
\(\ge\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\\\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2.\left(1+b\right)^2.\left(1+c\right)^2}}\)\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\) \(1\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow\) \(abc\ge\frac{1}{8}\left(đpcm\right).\)
\(a,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\)( BĐT cô-si dạng engel)
\(\frac{4}{2+a+b}\le\frac{4}{2+2\sqrt{ab}}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}=VP\)(bđt tương đương)
vậy cả hai bđt dấu "=" xảy ra đồng thời
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+b}\\a=b=1\end{cases}}\)
vậy \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi \(a=b=1\)
\(b,\)\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi bđt cô -si không xảy ra dấu bằng
và bđt tương đương xảy ra dấu bằng
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{2+a+b}{1+a+b+ab}>\frac{4}{2+a+b}\\4+4\sqrt{ab}=4+2a+2b\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}4+a^2+b^2+4a+4b+2ab>4+4a+4a+4ab\\2\sqrt{ab}=a+b\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2>2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)
\(0>2ab\)
\(ab< 0\)
rồi chia ra từng TH
ra đc \(TH1:\hept{\begin{cases}a< 0\\b>0\end{cases}}\)
\(TH2:\hept{\begin{cases}a>0\\b< 0\end{cases}}\)
\(c,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi
bđt cô- si dạng engel lớn hơn hoặc bằng còn bđt tương đương thì dấu bằng xảy ra
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)
\(< =>0\ge2ab\)
vì đề bài cho \(a,b>0\)lên dấu bằng không xảy ra
vậy không có giá trị a,b nào thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)
câu d lập luận như các câu trên cậu làm nốt nha
Có
HT xincamon