Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z = 2. Tìm GTLN của biểu thức
\(P=\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\)
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+x+z\right)=\dfrac{1}{2}\left(2x+y+z\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{2y+xz}\le\dfrac{1}{2}\left(x+2y+z\right)\) ; \(\sqrt{2z+xy}\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+2z\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(4x+4y+4z\right)=4\)
\(P_{max}=4\) khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
P = \(1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)
\(=\sqrt{3.\left(4+xy+yz+zx\right)}\)
Đã biết x2 + y2 + z2 \(\ge\)xy + yz + zx
=> xy + yz + zx \(\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Khi đó \(P\le\sqrt{3\left(4+xy+yz+zx\right)}\le\sqrt{3\left[4+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}\)
= 4
Dấu "=" xảy ra <=> x = 2/3
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{\left(x+y+z\right)x+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{x+2y+z}{2}\\ \Leftrightarrow P=\sum\sqrt{2x+yz}\le\dfrac{x+2y+z+2x+y+z+x+y+2z}{2}=\dfrac{4\left(x+y+z\right)}{2}=2\cdot2=4\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
cho các số thực dương x,y thỏa 2x+3y=5. Cmr
\(\sqrt{xy+2x+2y+4}\) + \(\sqrt{\left(2x+2\right)y}\)<= 5
Sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số ta có được:
\(\sqrt{xy+2x+2y+4}=\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\le\frac{x+2+y+2}{2}\)
\(\sqrt{\left(2x+2\right)y}=\sqrt{\left(x+1\right)\cdot2y}\le\frac{x+1+2y}{2}\)
Khi đó:
\(LHS\le\frac{x+2+y+2}{2}+\frac{x+1+2y}{2}=\frac{2x+3y+5}{2}=\frac{10}{2}=5\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=1
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+3}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow b\left(b^2+1\right)-3a^2=\left(a^2+1\right)a-3b^2\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+3a^2-3b^2+a-b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(3a+3b\right)+a-b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+3a+3b+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\Rightarrow\sqrt{2x+3}=\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow y=2x+3\)
\(\Rightarrow M=x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)-4x^2-3\) tới đây chắc chỉ cần bấm máy
\(\Rightarrow \sqrt{y-1}-\sqrt{x}+(y-1)^{2}-x^{2}+y(y-x-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (y-x-1)\left ( \underset{>0,x\geq 0 \& 6\geq y\geq 1}{\underbrace{\frac{1}{\sqrt{y-1}+x}+2y+x-1}} \right )=0\Rightarrow y-x-1=0\Leftrightarrow x=y-1\; \;\)\(3\sqrt{6-y}+3\sqrt{5y-9}=2y+5\;\)
\(\Leftrightarrow (8-y)-3\sqrt{6-y}+3(y-1-\sqrt{5y-9})=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{y^{2}-7y+10}{(8-y)+3\sqrt{6-y}}+3.\frac{y^{2}-7y+10}{y-1+\sqrt{5y-9}}=0\)
\(\Leftrightarrow (y^{2}-7y+10)(\underset{>0,\forall \frac{9}{5}\leq y\leq 6}{\underbrace{{\frac{1}{(8-y)+3\sqrt{6-y}}+\frac{3}{y-1+\sqrt{5y-9}}}}})=0\)
\(\sqrt{xy+2x+2y+4}+\sqrt{\left(2x+2\right)y}< =5\)
\(< =>\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\sqrt{\left(2x+2\right)y}< =5\)
\(< =>\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\sqrt{2y\left(x+1\right)}< =5\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta được :
\(\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\sqrt{2y\left(x+1\right)}< =\frac{x+y+4}{2}+\frac{2y+x+1}{2}\)
\(=\frac{2x+3y+5}{2}=\frac{10}{2}=5\)
\(=>\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\sqrt{2y\left(x+1\right)}< =5\)
Vậy ta có điều cần phải chứng minh