Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
lo hbfbekef evef
frgrgthtgr
t
gr
grgrgrgfrgrf
r
g
rg
r
g
r
gr
f
r
r
br
g
r
gr
gr
grg
r
g
eh
h
h
t
tt
t
t
thr
htr
htht
rh
ththt
ht
ht
h
h
ht
ht
ht
h
frorgew
rnngerjn griigrnbkrtgnngnrrkvggmbemfeegnv4f
v
r
re
eb
tg
bet
eb
Lời giải:
Đặt \(x^2=t\Rightarrow t^2-2(m^2+2)t+m^4+3=0\)
Để pt ban đầu có 4 nghiệm $x_1,x_2,x_3,x_4$ thì pt \(t^2-2(m^2+2)t+m^4+3=0\) phải có hai nghiệm dương
Điều này xảy ra khi:
\(\left\{\begin{matrix} \Delta'=(m^2+2)^2-(m^4+3)>0\\ t_1+t_2=2(m^2+2)>0\\ t_1t_2=m^4+3>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \forall m\in\mathbb{R}\)
Khi đó , pt ban đầu có các nghiệm \(x_1=\sqrt{t_1}; x_2=-\sqrt{t_1}; x_3=\sqrt{t_2}; x_4=-\sqrt{t_2}\)
Suy ra:
\(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_1x_2x_3x_4=11\)
\(\Leftrightarrow t_1+t_1+t_2+t_2+(-t_1)(-t_2)=11\)
\(\Leftrightarrow 2(t_1+t_2)+t_1t_2=11\)
\(\Leftrightarrow 4(m^2+2)+m^4+3=11\)
\(\Leftrightarrow m^4+4m^2=0\)
\(\Leftrightarrow m=0\)
Phương trình luôn có hai nghiệm \(x_1;x_2\). Theo định lý Viet ta có:
\(x_1+x_2=2\left(m-1\right)\)
\(x_1x_2=m^2-2m\)
Như vậy muốn được hệ thức giữa \(x_1;x_2\) không phụ thuộc vào m, ta phải tìm cách triệt tiêu m. Cụ thể ta có:
\(\frac{x_1+x_2}{2}=m-1\Rightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{4}=m^2-2m+1\)
Từ đó suy ra \(\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{4}-x_1x_2=m^2-2m+1-m^2+2m=1\)
hay ta có hệ thức: \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)
Chúc em học luôn học tập tốt :)
Với \(m\ne1\), giả sử pt đã cho có 2 nghiệm, theo Viet ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{2\left(m-4\right)}{m-1}\\x_1x_2=\frac{m-5}{m-1}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x_1+x_2\right)=\frac{4m-16}{m-1}\\-3x_1x_2=\frac{-3m+15}{m-1}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(x_1+x_2\right)-3x_1x_2=\frac{m-1}{m-1}=1\)
\(\Rightarrow2\left(x_1+x_2\right)-3x_1x_2-1=0\)
Đây là biểu thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m