Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\\left(x+y\right)^2-2xy=a^2+2a-3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\2xy=\left(2a-1\right)^2-\left(a^2+2a-3\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a-1\\xy=\frac{3a^2-6a+4}{2}\end{matrix}\right.\)
Hệ pt đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge4\left(\frac{3a^2-6a+4}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge6a^2-12a+8\)
\(\Leftrightarrow2a^2-8a+7\le0\Rightarrow\frac{4-\sqrt{2}}{2}\le a\le\frac{4+\sqrt{2}}{2}\)
Khi đó: \(f\left(a\right)=xy=\frac{3a^2-6a+4}{2}=\frac{3}{2}a^2-3a+2\)
Xét \(f\left(a\right)\) trên \(\left[\frac{4-\sqrt{2}}{2};\frac{4+\sqrt{2}}{2}\right]\)
\(\frac{3}{2}>0;\) \(\frac{3}{2.\frac{3}{2}}=1< \frac{4-\sqrt{2}}{2}\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến trên \(\left[\frac{4-\sqrt{2}}{2};\frac{4+\sqrt{2}}{2}\right]\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)_{min}=f\left(\frac{4-\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{11-6\sqrt{2}}{4}\)
giúp em với @Akai Haruma Võ Đông Anh Tuấn Nguyễn Huy Tú Nguyễn Huy Thắng
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=2y+3-m\\
2x+y=3(m+2)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 2(2y+3-m)+y=3(m+2)\)
\(\Leftrightarrow y=m\)
\(\Rightarrow x=2y+3-m=2m+3-m=m+3\)
Vậy HPT có nghiệm $(x,y)=(m+3,m)$
\(\Rightarrow S=x^2+y^2=(m+3)^2+m^2=2m^2+6m+9\)
\(=2(m+\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}\geq \frac{9}{2}\)
Vậy \(S_{\min}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow (m+\frac{3}{2})^2=0\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}\)
Bài 1:
Đặt $\sqrt[4]{y^3-1}=a; \sqrt{x}=b$ $(a,b\geq 0$)
Khi đó hệ PT trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ b^4+a^4+1=82\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^4+b^4=81\end{matrix}\right.\)
Có: \(a^4+b^4=81\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow [(a+b)^2-2ab]^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow (9-2ab)^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow 2a^2b^2-36ab=0\)
\(\Leftrightarrow ab(ab-18)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} ab=0\\ ab=18\end{matrix}\right.\)
Nếu $ab=0$. Kết hợp với $a+b=3$ suy ra $(a,b)=(3,0); (0,3)$
$\Rightarrow (x,y)=(0, \sqrt[4]{82}); (9, 1)$
Nếu $ab=18$. Kết hợp với $a+b=3$ và định lý Vi-et đảo suy ra $a,b$ là nghiệm của pt: $X^2-3X+18=0$
Dễ thấy pt này vô nghiệm nên loại
Vậy......
Bài 2:
ĐK: ..........
Đặt $\sqrt{x+\frac{1}{y}}=a; \sqrt{x+y-3}=b$ $(a,b\geq 0$)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2+3=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ (a+b)^2-2ab=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ ab=2\end{matrix}\right.\)
Áp dụng định lý Vi-et đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt $X^2-3X+2=0$
$\Rightarrow (a,b)=(2,1); (1,2)$
Nếu $(a,b)=(2,1)$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y-3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y=4\end{matrix}\right.\Rightarrow y=\frac{1}{y}\Rightarrow y=\pm 1\)
$y=1\rightarrow x=3$
$y=-1\rightarrow y=5$
Nếu $(a,b)=(1,2)$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y-3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y=7\end{matrix}\right.\Rightarrow y-\frac{1}{y}=6\)
\(\Rightarrow y^2-6y-1=0\Rightarrow y=3\pm \sqrt{10}\)
Nếu $y=3+\sqrt{10}\rightarrow x=4-\sqrt{10}$
Nếu $y=3-\sqrt{10}\rightarrow x=4+\sqrt{10}$
Vậy...........
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2a+1\\x^2+y^2=a^2-2a+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2=\left(2a+1\right)^2\\x^2+y^2=a^2-2a+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+2xy=4a^2+4a+1\\x^2+y^2=a^2-2a+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-2a+3+2xy=4a^2+4a+1\\x^2+y^2=a^2-2a+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=\frac{3a^2+6a-2}{2}\\x^2+y^2=a^2-2a+3\end{matrix}\right.\)
\(xy=\frac{3a^2+6a-2}{2}=\frac{3}{2}\left(a^2+2a+1\right)-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}\left(a+1\right)^2-\frac{5}{2}\ge-\frac{5}{2}\)
\(Min=-\frac{5}{2}\Leftrightarrow a+1=0\Leftrightarrow a=-1\)