Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a,
\(2^2=\left(1+1\right)^2=1^2+2.1+1\)
\(3^2=\left(2+1\right)^2=2^2+2.2+1\)
....
\(\left(n+1\right)^2=n^2+2n+1\)
Cộng theo từng vế của các đẳng thức:
\(2^2+3^2+...+\left(n+1\right)^2=1^2+2^2+...+n^2+2\left(1+2+...+n\right)+n\)
\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^2=1+2S+n\)
\(\Leftrightarrow2S=\left(n+1\right)^2-\left(n+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2S=\left(n+1\right)n\)
\(\Leftrightarrow S=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
b, Tương tự a
\(2^3=\left(1+1\right)^3=1^3+3.1^2+3.1+1\)
\(3^3=\left(2+1\right)^3=2^3+3.2^2+3.2+1\)
...
\(\left(n+1\right)^3=n^3+3n^2+3n+1\)
Cộng theo từng vế của các đẳng thức:
\(2^3+3^3+...+\left(n+1\right)^3=1^3+2^3+...+n^3+3\left(1^2+2^2+...+n^2\right)+3\left(1+2+...+n\right)+n\)
\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^3=1+3S_1+3S+n\)
\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^3-\left(n+1\right)-3S=3S_1\)
\(3S_1=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-\frac{3n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow3S_1=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow S_1=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)
\(S=1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)
\(=\left[\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\dfrac{n^2\cdot\left(n+1\right)^2}{4}\)
b: \(\left(m+n\right)\times\left(m^2-mn+n^2\right)=m^3+n^3\)
an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+....+abn−2+bn−1)⋮a−ban−bn=(a−b)(an−1+an−2b+....+abn−2+bn−1)⋮a−b (đpcm)
Với nn lẻ:
an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+....−abn−2+bn−1)⋮a+ban+bn=(a+b)(an−1−an−2b+....−abn−2+bn−1)⋮a+b (đpcm)