ND
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
Z
19 tháng 7 2019
Lời giải:
Ta có: \(\frac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)}\)
Mà: a = b + c => c = a - b => \(\frac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)}\)
=\(\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left[a^2-a\left(a-b\right)+\left(a-b\right)^2\right]}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left[a^2-a^2+ab+\left(a^2-2ab+b^2\right)\right]}\)
= \(\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-a^2+ab+a^2-2ab+b^2\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}=\frac{a+b}{a+c}\)
Vây: \(\frac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\frac{a+b}{a+c}\)
Chúc bạn học tốt!
Tick cho mình nhé!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 10 2019
a/
\(a^2+b^2+c^2+29ab+bc+ca=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c\)
b/ \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right)-3ab\left(a+b\right)\)
\(=-3ab\left(a+b\right)=-3ab\left(-c\right)=3abc\)
c/ Không, vì \(a=b=c\ne\) thì \(a^3+b^3+c^3=3a^3=3abc\) vẫn đúng
5 tháng 1 2019
Đặt:
\(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2c\\y+z=2a\\x+z=2b\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\)
\(2A=\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\)
\(=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{xy}}+2\sqrt{\dfrac{yz}{yz}}+2\sqrt{\dfrac{xz}{xz}}=6\) (AM-GM)
\(\Rightarrow2A\ge6\Leftrightarrow A\ge3\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác đã cho là tam giác đều
21 tháng 3 2018
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a^2+3}{b+c}+\dfrac{b^2+3}{c+a}+\dfrac{c^2+3}{a+b}\)
\(=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{3}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{3}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{3}{a+b}\)
\(=\left(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\right)+3\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}+3.\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(=\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{27}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{27}{6}=6\)
Y
26 tháng 8 2018
Nếu \(\dfrac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\dfrac{a+b}{a+c}\)
\(\Rightarrow\left(a^3+b^3\right)\left(a+c\right)=\left(a^3+c^3\right)\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3}{a+b}=\dfrac{a^3+c^3}{a+c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a+b}=\dfrac{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)}{a+c}\)
\(\Rightarrow a^2-ab+b^2=a^2-ac+c^2\)
\(\Rightarrow a^2-ab+b^2-a^2+ac-c^2=0\)
\(\Rightarrow b^2-c^2-ab+ac=0\)
\(\Rightarrow\left(b-c\right)\left(b+c\right)-a\left(b-c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)=0\)
Thay a = b + c vào ta được
\(\Rightarrow\left(b-c\right)\left(b+c-b-c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(b-c\right).0=0\)
\(\Rightarrow0=0\) ( Hợp lí )
Vậy \(\dfrac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\dfrac{a+b}{a+c}\) với a = b + c
M
2
T
19 tháng 7 2019
Akai Haruma em có cách khác cô nè:)
\(\frac{a^3-b^3}{a^3+c^3}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)}\) (1)
Cần chứng minh \(a^2+ab+b^2=a^2-ac+c^2\Leftrightarrow ab+b^2=c^2-ac\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+b\right)=c\left(c-a\right)\Leftrightarrow b\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+b-a\right)\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+b\right)=b\left(a+b\right)\) (đúng)
Do vậy \(\frac{a^3-b^3}{a^3+c^3}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)}=\frac{a-b}{a+c}^{\left(đpcm\right)}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 7 2019
Lời giải:
Ta có:
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(a^3+c^3=(a+c)(a^2-ac+c^2)=(a+c)[a^2-a(a+b)+(a+b)^2]\) (thay $c=a+b$)
\(=(a+c)(a^2-a^2-ab+a^2+2ab+b^2)=(a+c)(a^2+ab+b^2)\)
Do đó:
\(\frac{a^3-b^3}{a^3+c^3}=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a+c)(a^2+ab+b^2)}=\frac{a-b}{a+c}\)
Ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(a^3+b^2+c\right)\left(\frac{1}{a}+1+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^3+b^2+c\right)\left(ac+a+1\right)}{a}\ge9\Rightarrow\frac{a}{a^3+b^2+c}\le\frac{ac+a+1}{9}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b}{b^3+c^2+a}\le\frac{ab+b+1}{9}\) ; \(\frac{c}{c^3+a^2+b}\le\frac{bc+c+1}{9}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{a+b+c+ab+bc+ca+3}{9}=\frac{6+ab+bc+ca}{9}\)
\(VT\le\frac{6+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{9}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 5 2020
Bạn coi lại đề, sao tất cả các mẫu số đều là c thế kia? Có vẻ ko hợp lý