Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(2+x^2+y^2\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2+x^2+y^2+2xy+xy\left(x^2+y^2\right)\ge2+2x^2+2y^2+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2-2xy\right)-\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ Để biểu thức xác định \(\Rightarrow x\ne0\Rightarrow x^2\ge1\)
\(4=\frac{y^2}{4}+x^2+\frac{1}{x^2}+x^2\ge\frac{y^2}{4}+2\sqrt{\frac{x^2}{x^2}}+1\ge\frac{y^2}{4}+3\)
\(\Rightarrow\frac{y^2}{4}\le1\Rightarrow y^2\le4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2=0\\y^2=1\\y^2=4\end{matrix}\right.\)
\(y^2=0\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=4\Rightarrow2x^4-4x^2+1=0\) (ko tồn tại x nguyên tm)
\(y^2=1\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=3\Rightarrow2x^4-3x^2+1=0\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=...\)
\(y^2=4\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=0\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn
a/ \(N=\left(2x+y\right)\left(4x^2-2xy+y^2\right)\)
\(=2x\left(4x^2-2xy+y^2\right)+y\left(4x^2-2xy+y^2\right)\)
\(=8x^3-4x^2y+2xy^2+4x^2y-2xy^2+y^3\)
\(=8x^3+y^3\)
Thay: \(x=\frac{1}{2}\); \(y=\frac{1}{3}\) vào N ta được
\(8.\left(\frac{1}{2}\right)^3+\left(\frac{1}{3}\right)^3\)
\(=8.\frac{1}{8}+\frac{1}{27}\)
\(=1+\frac{1}{27}=\frac{27}{27}+\frac{1}{27}=\frac{28}{27}\)
b/ \(P=2\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)-2\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)
\(=\left(2x+2\right)\left(x^2-x+1\right)-\left[\left(2x-2\right)\left(x^2+x+1\right)\right]\)
\(=2x\left(x^2-x+1\right)+2\left(x^2-x+1\right)-\left[2x\left(x^2+x+1\right)-2\left(x^2+x+1\right)\right]\)
\(=2x^3-2x^2+2x+2x^2-2x+2-\left(2x^3+2x^2+2x-2x^2-2x-2\right)\)
\(=2x^3-2x^2+2x+2x^2-2x+2-2x^3-2x^2-2x+2x^2+2x+2\)
\(=4\)
c/ \(Q=\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)-4\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
\(=\left(2x\right)^2-1^2-4.\left(x^2-1^2\right)\)
\(=4x^2-1-4x^2+4\)
\(=3\)
P/s: Sao 2 câu cuối ko phụ thuôc vào giá trị của x vậy? Ko chắc!
x < y < z => 1/x > 1/y > 1/z
=> 3/x > 1/x + 1/y + 1/z
=> 3/x > 1/3 = 3/9
=> x < 9 (1)
Có: 1/x < 1/3 do 1/x + 1/y + 1/z = 1/3
=> x > 3 (2)
Từ (1) và (2) do x nguyên dương lẻ => x = 5 hoặc x = 7
+ Với x = 5 => 1/y + 1/z = 1/3 - 1/5 = 2/15
Có: 2/y > 1/y + 1/z
=> 2/y > 2/15
=> y < 15 (3)
Có: 2/y < 2.2/15 do 1/y + 1/z = 2/15
=> 4/2y < 4/15 => 2y > 15 => y > 15/2 (4)
Từ (3) và (4), do y nguyên dương lẻ nê y = 9 hoặc y = 11 hoặc y = 13
Giá trị tương ứng của z là: 45; 165/7; 195/11
Dễ thấy z = 45 thỏa mãn x < y < z và z nguyên dương lẻ
+ Với x = 7 => 1/y + 1/z = 1/3 - 1/7 = 4/21
Có: 2/y > 1/y + 1/z
=> 4/y > 4/21
=> y < 21 (5)
Lại có: 1/y < 4/21 do 1/y + 1/z = 4/21
=> 4/4y < 4/21 => 4y > 21 => y > 21/4 (6)
Từ (5) và (6) do y nguyên dương lẻ => y thuộc {7;9;11;13;15;17;19}
Thử từng giá trị của y ta đều thấy vô lý
Vậy x = 5; y = 9; z = 45
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\left[4\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}-3\right]^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\left[2\sqrt{4\left(x+y\right).\frac{4}{x+y}-3}\right]^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}.5^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{25}{2}\)
\(Min_A=\frac{25}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
c. \(a^2+b^2\ge a+b-\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-a-b+\frac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2.a.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(\text{b}^2-2.b.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\text{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
= đpcm
\(x^2+\frac{1}{x^2}=x^2-2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2\ge2\)
\("="\Leftrightarrow x=\frac{1}{x}\Rightarrow x=\pm1\)