Question

[Unirverse Sky]

Help thật

Bài 4: Cho hàm số . Xác định giá trị của tham số m để:

a. y' ≤ 0, ∀ x∈ 

b. y' = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm.

c. y' = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x₁² + x₂² = 3.

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

\(y=-\frac{1}{3}mx^3+\left(m-1\right)x^2-mx+3\)

\(y'=-mx^2+2\left(m-1\right)x-m\)

Với \(m=0\): \(y'=-2x\)không thỏa mãn. 

Với \(m\ne0\):

\(y'\le0,\forall x\inℝ\)khi: 

\(\hept{\begin{cases}-m< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-m^2\le0\end{cases}}\Leftrightarrow m\ge\frac{1}{2}\).

\(y'=0\)có hai nghiệm phân biệt cùng âm khi: 

\(\hept{\begin{cases}\Delta'=-2m+1>0\\\frac{2\left(m-1\right)}{m}< 0\\\frac{-m}{-m}>0\end{cases}}\Leftrightarrow0< m< \frac{1}{2}\).

\(y'=0\)có hai nghiệm phân biệt khi \(-2m+1>0\Leftrightarrow m< \frac{1}{2}\).

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2\left(m-1\right)}{m}\\x_1x_2=1\end{cases}}\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\frac{4\left(m-1\right)^2}{m^2}-2=3\)

\(\Leftrightarrow m=2\left(-2\pm\sqrt{5}\right)\)

Đối chiếu điều kiện đều thỏa mãn.