Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(2^{x+4}+2^{x+2}=5^{x+1}+3\cdot5^x\)
\(\Rightarrow2^x+2^4+2x^x+2^2=5^x\cdot x+3\cdot5^x\)
\(\Leftrightarrow2^x+16+2^x\cdot4=5\cdot5^x+3\cdot5^x\)
\(\Leftrightarrow16\cdot2^x+4\cdot2^x=8\cdot5^x\)
\(\Leftrightarrow20\cdot2^x=8\cdot5^x\)
\(\Leftrightarrow20\cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^x=8\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2}{5}\right)^x=\dfrac{2}{5}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2}{5}\right)^x=\left(\dfrac{2}{5}\right)^1\)
\(\Rightarrow x=1\)
\(\left(xy-1\right)2^{2xy-1}=\left(x^2+y\right)2^{x^2+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)2^{2\left(xy-1\right)+1}=\left(x^2+y\right)2^{x^2+y}\)
\(\Leftrightarrow2\left(xy-1\right)2^{2\left(xy-1\right)}=\left(x^2+y\right)2^{x^2+y}\)
Do vế phải luôn dương \(\Rightarrow VT>0\Rightarrow xy-1>0\) (1)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t.2^t\) với \(t>0\Rightarrow f'\left(t\right)=2^t+t.2^t.ln2>0\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)
\(\Rightarrow2\left(xy-1\right)=x^2+y\Rightarrow2xy-y=x^2+2\) (thay \(x=\dfrac{1}{2}\) thấy ko phải nghiệm)
\(\Rightarrow y=\dfrac{x^2+2}{2x-1}\) (2)
Thay (2) vào (1): \(xy-1>0\Rightarrow x.\left(\dfrac{x^2+2}{2x-1}\right)-1>0\Rightarrow\dfrac{x^3+2x}{2x-1}-1>0\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3+1}{2x-1}>0\Rightarrow2x-1>0\) (do \(x>0\Rightarrow x^3+1>0\))
Vậy \(y=\dfrac{x^2+2}{2x-1}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}=\dfrac{2x-1}{4}+\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}+\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y\ge2\sqrt{\dfrac{\left(2x-1\right)}{4}.\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}}+\dfrac{1}{2}=2\)
\(\Rightarrow y_{min}=2\) khi \(\dfrac{2x-1}{4}=\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}\Rightarrow x=2\)
Đáp án B
Số nghiệm của các phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a), b) và với đường thẳng y = -1 ở câu c).
a) Xét hàm số y = x3 – 3x2 + 5 . Tập xác định : R.
y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2.
Bảng biến thiên:
Đồ thị như hình bên.
Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
b) Xét hàm số y = -2x3 + 3x2 - 2 . Tập xác định : R.
y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1.
Đồ thị như hình bên. Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
c) Xét hàm số y = f(x) = 2x2 - 2x4. Tập xác định : R.
y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = -1 như hình bên.
Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
\(log\left(5\left(x^2+1\right)\right)\ge log\left(mx^2+4x+m\right)\)
- BPT đúng \(\forall x\Rightarrow log\left(mx^2+4x+m\right)\) xác định \(\forall x\in R\)
\(\Rightarrow mx^2+4x+m>0\) \(\forall x\in R\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=m>0\\\Delta'=4-m^2< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>2\) (1)
- Lại có \(x^2+1\ge1\) \(\forall x\)
\(\Rightarrow5\left(x^2+1\right)\ge mx^2+4x+m\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+1\right)-4x\ge m\left(x^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow5-\dfrac{4x}{x^2+1}\ge m\)
Đặt \(f\left(x\right)=5-\dfrac{4x}{x^2+1}\Rightarrow f\left(x\right)\ge m\) \(\forall x\Leftrightarrow m\le min\left(f\left(x\right)\right)\)
Ta có \(f\left(x\right)=3+2-\dfrac{4x}{x^2+1}=3+\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\ge3\)
\(\Rightarrow min\left(f\left(x\right)\right)=3\Rightarrow m\le3\) (2)
Kết hợp (1), (2) \(\Rightarrow2< m\le3\Rightarrow m=3\)
Vậy có 1 giá trị nguyên duy nhất của m để BPT đúng với mọi x
Đáp án B
Bạn biết quy tắc "trong trái - ngoài cùng" kinh điển liên quan 2 nghiệm phương trình bậc 2 đúng không ạ?
\(-2\le x_1\le x_2\) nên -2 nằm ngoài khoảng 2 nghiệm. Mà theo quy tắc "trong trái - ngoài cùng" thì ta sẽ có \(2.f\left(-2\right)\le0\) (1)
Bây giờ -2 đã nằm bên ngoài khoảng 2 nghiệm, bây giờ ta tìm thêm điều kiện để nó nằm bên trái nghiệm nhỏ hơn (ta quy ước là \(x_1\) đi) là xong. Mà \(-2\le x_1\) nên -2 cũng nhỏ hơn điểm nằm giữa x1 và x2 hay \(-2\le\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{S}{2}\)
Tại sao ta sử dụng điểm nằm giữa kia mà ko sử dụng trực tiếp x1, vì sử dụng điểm đó thì ta có thể dùng Viet rất tiện, trong khi dùng x1 thì theo công thức nghiệm sẽ xuất hiện căn thức, giải ra tốn thời gian hơn.
Mặc dù nếu thích, bạn vẫn có thể dùng điều kiện \(-2\le x_1\) để giải, kết quả vẫn ra như vậy.
Ấy, đoạn trên chỗ (1) gõ nhầm rồi, \(1.f\left(-2\right)\ge0\) chứ
\(y'=-3x^2+6x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)
Hàm đồng biến trên \(\left(0;2\right)\)