K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
28 tháng 6 2021
1) Bài toán trọng tâm của tứ diện:
A B C D G E F H K M N
Ta có NE,MF lần lượt là đường trung bình của \(\Delta ABC,\Delta ADC\), suy ra \(\hept{\begin{cases}NE=MF=\frac{AC}{2}\\NE||MF\end{cases}}\)
Suy ra tứ giác EMFN là hình bình hành. Do đó EF,MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Tương tự MN,HK cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Vậy EF,HK,MN đồng quy tại trung điểm G của chúng. G chính là trọng tâm của tứ diện ABCD.
*) Nhận xét: Ta dễ dàng chỉ ra:
i) AG,BG,CG,DG lần lượt đi qua trọng tâm GA,GB,GC,GD của các tam giác BCD,ACD,ABD,AB
ii) \(\frac{GA}{GG_A}=\frac{GB}{GG_B}=\frac{GC}{GG_C}=\frac{GD}{GG_D}=3\)
iii) \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\)
2) Ta phát biểu bổ đề sau: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc đường thẳng BC. Ta có \(\overrightarrow{AM}=\frac{\overline{BM}}{\overline{BC}}\overrightarrow{AC}+\frac{\overline{CM}}{\overline{CB}}\overrightarrow{AB}\)
A B C M N
Chứng minh: Lấy điểm N trên AB sao cho MN || AC, ta có:
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NM}=\frac{\overline{AN}}{\overline{AB}}\overrightarrow{AB}+\frac{\overline{NM}}{\overline{AC}}\overrightarrow{AC}=\frac{\overline{CM}}{\overline{CB}}\overrightarrow{AB}+\frac{\overline{BM}}{\overline{BC}}\overrightarrow{AC}\)
Lời giải:
A B C D A' B' C' D' G A G
Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tứ diện ABCD và A'B'C'D'.
Ta có: \(\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AG_A}=\frac{3}{4}.\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{4}\left(1\right)\)
Mặt khác \(\frac{\overline{A'A}}{\overline{A'B}}=\frac{\overline{B'B}}{\overline{B'C}}=\frac{\overline{C'C}}{\overline{C'D}}=\frac{\overline{D'D}}{\overline{D'A}}=k\), suy ra:
\(\frac{\overline{AA'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{BB'}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{CC'}}{\overline{CD}}=\frac{k}{k-1};\frac{\overline{AD'}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{DC'}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{CB'}}{\overline{CB}}=\frac{-1}{k-1}\)
Từ đó: \(\overrightarrow{AA'}=\frac{\overline{AA'}}{\overline{AB}}\overrightarrow{AB}=\frac{k}{k-1}\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD'}=\frac{-1}{k-1}\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{AB'}=\frac{\overline{BB'}}{\overline{BC}}\overrightarrow{AC}+\frac{\overline{CB'}}{\overline{CB}}\overrightarrow{AB}=\frac{k}{k-1}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{k-1}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{AC'}=\frac{\overline{CC'}}{\overline{CD}}\overrightarrow{AD}+\frac{\overline{DC'}}{\overline{DC}}\overrightarrow{AC}=\frac{k}{k-1}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{k-1}\overrightarrow{AC}\)
Suy ra \(\overrightarrow{AG'}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{AD'}+\overrightarrow{A'G'}+\overrightarrow{B'G'}+\overrightarrow{C'G'}+\overrightarrow{D'G'}\right)\)
\(=\frac{\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{AD'}}{4}\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{k}{k-1}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{k-1}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{k-1}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{k-1}\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{4}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AG'}\). Vậy G trùng G' hay hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có cùng trọng tâm.
C
1
V
8 tháng 2 2021
\(M=\lim\limits\left(\sqrt[3]{1-n^2-8n^3}+2n\right)\)
\(=\lim\limits\dfrac{1-n^2-8n^3+8n^3}{\left(\sqrt[3]{1-n^2-8n^3}\right)^2-2n.\sqrt[3]{1-n^2-8n^3}+4n^2}\)
\(=\lim\limits\dfrac{1-n^2}{\left(1-n^2-8n^3\right)^{\dfrac{2}{3}}-2n.\left(1-n^2-8n^3\right)^{\dfrac{1}{3}}+4n^2}\)
\(=\lim\limits\dfrac{-\dfrac{n^2}{n^2}}{\dfrac{\left(-8n^3\right)^{\dfrac{2}{3}}}{n^2}-\dfrac{2n.\left(-8n^3\right)^{\dfrac{1}{3}}}{n^2}+\dfrac{4n^2}{n^2}}=\dfrac{-1}{4+4+4}=-\dfrac{1}{12}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 11 2019
a/ Qua S kẻ đường thẳng d song song AB (và CD) thì d là giao tuyến của (SAB) và (SCD)
b/ Tương tự, qua S kẻ đường thẳng d' song song AD và BC thì d' là giao tuyến (SAD) và (SBC)
10 tháng 12 2021
Cách 1:
d:2x−y+1=0d:2x−y+1=0
Chọn 2 điểm bất kỳ thuộc đường thẳng dd là:
A(0;1)A(0;1) và B(1;3)B(1;3)
Q(O;−90o)A(0;1)=A′(1;0)Q(O;−90o)A(0;1)=A′(1;0)
Q(O;−90o)B(1;3)=B′(3;−1)Q(O;−90o)B(1;3)=B′(3;−1)
Ảnh d′d′ của đường thẳng dd qua phép Q(O;−90o)Q(O;−90o)
là đường thẳng đi qua 2 điểm A′(1;0)A′(1;0) và B′(3;−1)B′(3;−1)
Phương trình đường thẳng d′d′ là:
x−13−1=y−0−1−0x−13−1=y−0−1−0
⇔−(x−1)=2y⇔−(x−1)=2y
⇔x+2y−1=0⇔x+2y−1=0
Cách 2:
Ảnh d′d′ của đường thẳng d:2x−y+1=0d:2x−y+1=0 qua phép Q(O;−90o)Q(O;−90o) là đường thẳng vuông góc với đường thẳng dd
nên phương trình d′d′ có dạng: x+2y+z=0x+2y+z=0
trên đường thẳng dd chọn 1 điểm bất kỳ là A(0;1)A(0;1) như vậy
Q(O;−90o)A(0;1)=A′(1;0)Q(O;−90o)A(0;1)=A′(1;0) thuộc đường thẳng d′d′ nên tọa độ của A′A′ thỏa mãn phương trình đường thẳng d′d′, ta có:
1+2.0+z=0⇔z=−11+2.0+z=0⇔z=−1
Vậy phương trình đường thẳng d′:x+2y−1=0d′:x+2y−1=0
CM
28 tháng 3 2018
a)n = 1 ⇒ 31 = 3 < 8 = 8.1
n = 2 ⇒ 32 = 9 < 16 = 8.2
n = 3 ⇒ 33 = 27 > 24 = 8.3
n = 4 ⇒ 34 = 81 > 32 = 8.4
n = 5 ⇒ 35 = 243 > 40 = 8.5
b) Dự đoán kết quả tổng quát: 3n > 8n với mọi n ≥ 3
- n = 3, bất đẳng thức đúng
- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là:
3k > 8k
Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:
3(k + 1) > 8(k + 1)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
3(k + 1) = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k
k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8
Suy ra: 3(k + 1) > 8k + 8 = 8(k + 1)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 3
mình chưa học đến