Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
A B C E D H
Qua H kẻ đường thẳng song song AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng song song AC cắt AB tại E.
Ta có: \(\Delta ADH=\Delta HEA\left(g.c.g\right)\) \(\Rightarrow AD=HE;AE=HD\)
Xét \(\Delta AHD\) có HA < HD + AD, do đó HA < AE + AD (1)
Vì HE//AC, mà \(AC\perp BH\Rightarrow HE\perp BH\)
Xét tam giác vuông HBE có HB < BE (2)
Vì HD//AB, mà \(AB\perp CH\Rightarrow HD\perp CH\)
Xét tam giác vuông HCD có HC < DC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
HA + HB + HC < (AE + EB) + ( AD + DC) =AB + AC
Vậy HA + HB + HC < AB + AC (4)
Tương tự: HA + HB + HC < AB + BC (5)
HA + HB + HC < AC + BC (6)
Từ (4), (5), (6) suy ra 3(HA + HB + HC) < 2(AB + AC + BC
Vậy HA + HB + HC < \(\dfrac{2}{3}\left(AB+AC+BC\right)\)
Kẻ HD//AB,HE//ACHD//AB,HE//AC
\(\Rightarrow\)AD=HE;AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :
AH<AE+HE=AE+ADAH<AE+HE=AE+AD
ΔHDC vuông tại H :HC<DC
ΔBHE vuông tại H : HB<BE
\(\Rightarrow\)HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC
Chứng minh tương tự ta được:
HA+HB+HC<AB+BCHA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<AC+BCHA+HB+HC<AC+BC
\(\Rightarrow\) 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)
\(\Rightarrow\)HA + HB + HC < \(\frac{2}{3}\)(AB+AC+BC)(ĐPCM)
-> HA+HB+HC<23(AB+AC+BC)
Kẻ HD//AB ,HE//AC
−>AD=HE; AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :
AH<AE+HE=AE+AD
xét ΔHDC vuông tại H :HC<DC
ΔBHE vuông tại H : HB<BE
−>HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC
chứng minh tương tự:
HA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<AC+BC
K/h có :
3 (HA+HB+HC) < 2 (AB+AC+BC)
-> HA+ HB + HC< \(\frac{2}{3}\)(AB+AC+BC)
Gọi các đường cao của tam giác nhọn ABC là BD và CE
Từ H kẻ HS//AC,HR//AB (S thuộc AB,R thuộc AC)
HA<AR+RH (Bất đẳng thức tam giác)
Hay HA<AR+AS (1)
AB//HR, AB vuông góc với CE => HR vuông góc với CE
=> Tam giác HRC vuông tại H => RC>HC (RC là cạnh huyền) (2)
HS//AC, AC vuông góc HC => SH vuông góc HD
=> Tam giác SHE vuông tại H => BS>BH (BH là cạnh huyền) (3)
Từ (1);(2);(3) suy ra HA+HC+HB<AR+AS+RC+BS
Hay HA+HC+HB< (AR+RC)+(AS+BS)
HA+HC+HB<AC+AB
Tương tự ta cũng có: HA+HB+HC<AC+AB
HA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<BC+AC
Cộng 2 vế ta được: 3(HA+HB+HC)<2(AC+AB+BC)
HA+HB+HC<2/3(AC+AB+BC) (ĐPCM)
Qua H kẻ HF // AB (F thuộc AC), HE // AC (E thuộc AB)
H là trực tâm ▲ ABC => BH ┴ AC mà HE // AC => BH ┴ HE (từ ┴ đến //)
=> ▲ BHE vuông tại H => BE > BH (t/c ▲ vuông) (1)
Chứng minh tương tự, ta được CF > CH (2)
HE // AF, HF // AE => AEHF là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) => AE = HF (2 cạnh đối) (3)
Xét ▲ AHF có AF + HF > AH (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) => AE + AF > AH (5)
Từ (1), (2) và (5) => BE + CF + AE + AF > AH + BH + CH => AB + AC > AH + BH + CH (6)
Chứng minh tương tự, ta được:
* AB + BC > AH + BH + CH (7)
* AC + BC > AH + BH + CH (8)
Từ (6), (7) và (8) => 2(AB + AC + BC) > 3(AH + BH + CH) => HA + HB + HC < 2/3(AB + AC + BC)
Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!