Question

[Thắng Nguyễn]

Given \(x,y,z\ge0\)and \(xy+yz+zx=1\).Show that 

\(\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{y+z}}+\frac{1}{\sqrt{z+x}}\ge2+\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Answer 1

[Doraemon]

Bằng chứng : sự bất bình đẳng này tương đương với

1y2+ 1+ 1z2+ 1+ 2( y2+ 1 ) ( z2+ 1 )- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -√≥ 1 + 1( y+ z)2+ 1+ 2( y+ z)2+ 1- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -√.1y2+1+1z2+1+2(y2+1)(z2+1)≥1+1(y+z)2+1+2(y+z)2+1.

Thông báo rằng

( y+ z)2+ 1 - ( y2+ 1 ) ( z2+ 1 ) = yz( 2 - yz) ≥ 0 ,(y+z)2+1- -(y2+1)(z2+1)=yz(2- -yz)≥0,

vì thế

2( y2+ 1 ) ( z2+ 1 )- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -√≥ 2( y+ z)2+ 1- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -√.2(y2+1)(z2+1)≥2(y+z)2+1.

Do đó, nó đủ để chứng minh rằng

1y2+ 1+ 1z2+ 1≥ 1 + 1( y+ z)2+ 1.1y2+1+1z2+1≥1+1(y+z)2+1.

Và điều này tương đương với

yz[ 2 - 2 yz- yz( y+ z)2]( y2+ 1 ) ( z2+ 1 ) [ ( y+ z)2+ 1 ]≥ 0.yz[2- -2yz- -yz(y+z)2](y2+1)(z2+1)[(y+z)2+1]≥0.

Trên đây là sự thật bởi vì

2 - 2 yz- yz( y+ z)2= 2 x ( y+ z) - yz( y+ z)2= ( y+ z) [ 2 x - yz( y+ z) ]≥ ( y+ z) [ 2 x - x2( y+ z) ] = x ( y+ z) ( 2 - x y- x z) ≥ 0.2- -2yz- -yz(y+z)2=2x(y+z)- -yz(y+z)2=(y+z)[2x- -yz(y+z)]≥(y+z)[2x- -x2(y+z)]=x(y+z)(2- -xy- -xz)≥0.

2 - 2 yz- yz( y+ z)2= 2 x ( y+ z) - yz( y+ z)2= ( y+ z) [ 2 x - yz( y+ z) ] ≥ ( y+ z) [ 2 x - x2( y+ z) ] = x ( y+ z) ( 2 - x y- x z) ≥ 0.