Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
Bài 1:
a) Vì giá trị của biểu thức \(\frac{3x-2}{4}\) không nhỏ hơn giá trị của biểu thức \(\frac{3x+3}{6}\) nên \(\frac{3x-2}{4}\) \(\ge\) \(\frac{3x+3}{6}\)
TH1: \(\frac{3x-2}{4}\) = \(\frac{3x+3}{6}\)
=> (3x-2)6 = (3x+3)4
18x -12= 12x+12
=> x = 4
TH2: \(\frac{3x-2}{4}\) > \(\frac{3x+3}{6}\)
=> (3x-2)6 > (3x+3)4
18x-12> 12x+12
=> x \(\ge\) 5
b) Vì ( x+1)2 \(\ge\) 0; (x-1)2 \(\ge\) 0 mà (x+1) luôn lớn hơn (x-1) với mọi x nên không có giá trị của x thỏa mãn (x+1)2 nhỏ hơn (x-1)2
c) Phần c bạn cũng xét tương tự như phần a
TH1: \(\frac{2x-3}{35}+\frac{x\left(x-2\right)}{7}=\frac{x^2}{7}-\frac{2x-3}{5}\)
TH2: \(\frac{2x-3}{35}+\frac{x\left(x-2\right)}{7}<\frac{x^2}{7}-\frac{2x-3}{5}\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}xy+x+y=1\\yz+y+z=3\\xz+x+z=7\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}xy+x+y+1=2\\yz+y+z+1=4\\xz+x+z+1=8\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=2\\\left(y+1\right)\left(z+1\right)=4\\\left(x+z\right)\left(z+1\right)=8\end{cases}}\)
Nhân theo vế:
\(\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2=64\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=8\\\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=-8\end{cases}}\)
Thay vào từng trường hợp tìm x;y;z
2, TC: \(\frac{5x^2-4x+4}{x^2}=\frac{4x^2+x^2-4x+4}{x^2}\)\(=\frac{4x^2}{x^2}+\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2}=4+\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2}\)
Ta có \(\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2}\ge0\forall x\left(x\ne0\right)\)\(\Rightarrow4+\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2}\ge4\)
Vậy GTNN của A là 4 tại \(\frac{\left(x-2^2\right)}{x^2}=0\Rightarrow x=2\)
Bài 1:
a) \(M=x^2+x+1\)
\(=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1\)
\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)
Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0;\forall x\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge0+\frac{3}{4};\forall x\)
Hay \(M\ge\frac{3}{4};\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)
Vậy \(MIN\)\(M=\frac{3}{4}\)\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)
b) \(N=3-2x-x^2\)
\(=-x^2-2x+3\)
\(=-\left(x^2+2x+1\right)+4\)
\(=-\left(x+1\right)^2+4\)
Vì \(-\left(x+1\right)^2\le0;\forall x\)
\(\Rightarrow-\left(x+1\right)^2+4\le0+4;\forall x\)
Hay \(N\le4;\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x=-1\)
Vậy MAX \(N=4\)\(\Leftrightarrow x=-1\)
Bài 2:
Vì a chia 3 dư 1 nên a có dạng \(3k+1\left(k\in N\right)\)
Vì b chia 3 dư 2 nên b có dạng \(3t+2\left(t\in N\right)\)
Ta có: \(ab=\left(3k+1\right)\left(3t+2\right)\)
\(=\left(3k+1\right).3t+\left(3k+1\right).2\)
\(=9kt+3t+6k+2\)
\(=3.\left(3kt+t+2k\right)+2\)chia 3 dư 2 .
\(\)
1a) Ta có: M = x2 + x + 1 = (x2 + x + 1/4) + 3/4 = (x + 1/2)2 + 3/4
Ta luôn có: (x + 1/2)2 \(\ge\)0 \(\forall\)x
=> (x + 1/2)2 + 3/4 \(\ge\)3/4 \(\forall\)x
Dấu "=" xảy ra khi : x + 1/2 = 0 <=> x = -1/2
Vậy Mmin = 3/4 tại x = -1/2
b) Ta có: N = 3 - 2x - x2 = -(x2 + 2x + 1) + 4 = -(x + 1)2 + 4
Ta luôn có: -(x + 1)2 \(\le\)0 \(\forall\)x
=> -(x + 1)2 + 4 \(\le\)4 \(\forall\)x
Dấu "=" xảy ra khi : x + 1 = 0 <=> x = -1
Vậy Nmax = 4 tại x = -1