Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
tham khảo:\(\)
Bước 1: Hoàn thành bình phương
Ta nhóm và hoàn thành bình phương để nhìn rõ cấu trúc.
Với A:
\(x^{2} + 2 x + 2 y^{2} - 4 y + 5\)
- Hoàn thành bình phương cho \(x\):
\(x^{2} + 2 x = \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} - 1\)
- Với \(2 y^{2} - 4 y\):
\(2 \left(\right. y^{2} - 2 y \left.\right) = 2 \left[\right. \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} - 1 \left]\right. = 2 \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} - 2\)
- Thay lại:
\(A = \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} - 1 + 2 \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} - 2 + 5\) \(A = \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + 2\)
Với B:
\(2 x^{2} + 4 x + y^{2} - 8 y + 10\)
- Với \(2 x^{2} + 4 x\):
\(2 \left(\right. x^{2} + 2 x \left.\right) = 2 \left[\right. \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} - 1 \left]\right. = 2 \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} - 2\)
- Với \(y^{2} - 8 y\):
\(y^{2} - 8 y = \left(\right. y - 4 \left.\right)^{2} - 16\)
- Thay lại:
\(B = 2 \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} - 2 + \left(\right. y - 4 \left.\right)^{2} - 16 + 10\) \(B = 2 \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 4 \left.\right)^{2} - 8\)
Bước 2: Đặt biến mới
Đặt:
\(u = x + 1 , v = y - 1\)
Khi đó:
- \(y - 4 = v - 3\)
Biểu thức trở thành:
\(A = u^{2} + 2 v^{2} + 2\) \(B = 2 u^{2} + \left(\right. v - 3 \left.\right)^{2} - 8\)
Bước 3: Giả sử chúng là số chính phương
Giả sử:
\(A = p^{2} , B = q^{2}\)
với \(p , q\) nguyên không âm.
Hệ:
\(u^{2} + 2 v^{2} + 2 = p^{2} \left(\right. 1 \left.\right)\) \(2 u^{2} + \left(\right. v - 3 \left.\right)^{2} - 8 = q^{2} \left(\right. 2 \left.\right)\)
Bước 4: Loại trừ
Từ (1) nhân 2:
\(2 u^{2} + 4 v^{2} + 4 = 2 p^{2}\)
So sánh với (2):
\(\left(\right. 2 u^{2} + 4 v^{2} + 4 \left.\right) - \left[\right. 2 u^{2} + \left(\right. v - 3 \left.\right)^{2} - 8 \left]\right. = 2 p^{2} - q^{2}\)
Rút gọn vế trái:
\(4 v^{2} + 4 - \left(\right. v^{2} - 6 v + 9 \left.\right) + 8 = 3 v^{2} + 6 v + 3\)
Vậy:
\(3 v^{2} + 6 v + 3 = 2 p^{2} - q^{2}\)
Nhận thấy:
\(3 v^{2} + 6 v + 3 = 3 \left(\right. v + 1 \left.\right)^{2}\)
Do đó:
\(3 \left(\right. v + 1 \left.\right)^{2} = 2 p^{2} - q^{2} \left(\right. 3 \left.\right)\)
Bước 5: Tìm nghiệm
(1) ⇒ \(u^{2} = p^{2} - 2 v^{2} - 2\) phải nguyên không âm.
(2) ⇒ \(u^{2} = \frac{q^{2} - \left(\right. v - 3 \left.\right)^{2} + 8}{2}\) cũng phải nguyên không âm.
Ta có thể thử giá trị nhỏ của \(v\) để xem có nghiệm nguyên không.
- v = -1:
Từ (3): \(0 = 2 p^{2} - q^{2}\) ⇒ \(q^{2} = 2 p^{2}\) ⇒ không có nghiệm nguyên trừ \(p = q = 0\) nhưng khi đó (1) ⇒ \(u^{2} + 2 + 2 = 0\) vô lý. - v = 0:
(3): \(3 = 2 p^{2} - q^{2}\). Thử p nhỏ thấy không khớp với (1),(2) cùng lúc. - Thử vài \(v\) khác, đều ra mâu thuẫn hoặc \(u^{2}\) âm.
Sau khi kiểm tra các giá trị \(v\) hợp lý, không xuất hiện cặp \(\left(\right. u , v \left.\right)\) nguyên nào thoả mãn đồng thời.
✅ Kết luận:
Không tồn tại số nguyên \(x , y\) để cả hai biểu thức đều là số chính phương.