Question

[Nguyễn Thảo Nguyên]

Giúp mik ý 2 thôi nhé cảm ơn mn

Cho một điểm C di động trên đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, vẽ CH vuông góc với AB tại H.

1. Vẽ CM song song với BI (M thuộc AI); lấy điểm F thuộc AB sao cho AC = AF. Tính CMF.

2. P thuộc tia đối của tia AC sao cho AP = AC; Q là trung điểm của HB. Chứng minh rằng PH vuông góc với CQ.

3. K tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHC; CK cắt AB tại E. Tìm vị trí của C trên cung AB để diện tích tam giác CEF đạt giá trị lớn nhất.

4. Chứng minh rằng MH, BI, CF đồng quy

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

C A B O E F I M H P Q J K L

1. Ta có \(\widehat{AIB}=90^0+\frac{1}{2}\widehat{BAC}=135^0\), suy ra \(\widehat{BIM}=\widehat{CMI}=45^0\) vì \(BI||CM\)

Do \(\Delta ACM=\Delta AFM\) (c.g.c) nên \(\widehat{CMF}=2\widehat{CMI}=90^0.\)

2. Dễ thấy \(\frac{CH}{CA}=\frac{BH}{BC}\) hay \(\frac{2CH}{CP}=\frac{2BQ}{BC}\Rightarrow\frac{CH}{CP}=\frac{BQ}{BC}\)

Suy ra \(\Delta BQC~\Delta CHP\). Do đó \(\widehat{CPH}=\widehat{BCQ}=90^0-\widehat{PCQ}\). Vậy \(PH\perp CQ.\)

3. Gọi J là điểm chính giữa cung BC không chứa A của (O), ta có ngay J là tâm của (AIB)

Lấy điểm L sao cho \(JL||AB\) và \(IL\perp AB\)

Ta thấy \(\widehat{IFA}=\widehat{ICA}=\widehat{ICB}=\widehat{IEB}=45^0\), suy ra \(\Delta EIF\) vuông cân tại I

Vậy ta có \(S_{CEF}=\frac{1}{2}AH.EF=\frac{1}{2}AH.2r=AH.r\) với \(r\) là bán kính của (I)

Lại có \(r=IL-OJ\le IJ-OJ=R\left(\sqrt{2}-1\right)\) và \(AH\le OA=R\)

Suy ra \(S_{CEF}\le\left(\sqrt{2}-1\right)R^2\) (Không đổi). Đạt được khi A là điểm chính giữa cung BC.

4. Ta thấy tứ giác CHFM nội tiếp đường tròn đường kính CF, \(MC=MF\) do \(\Delta ACM=\Delta AFM\)

Do vậy HM là phân giác của \(\widehat{CHB}\). Dễ có \(\widehat{HCF}=90^0-\widehat{CFA}=\frac{1}{2}\widehat{HCB}\)

 Vậy 3 đường phân giác CM, CF, BI của tam giác CHB đồng quy.