Câu hỏi của :vvv

Question

Giải pt nghiệm nguyên:

$x^2+5y^2+6z^2+2xy-4xz=10$

Đoàn Đức Hà · Accepted Answer

$x^2+5y^2+6z^2+2xy-4xz=10$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+4z^2+2xy-4xz-4yz+4y^2+4yz+z^2+z^2=10$

$\Leftrightarrow\left(x+y-2z\right)^2+\left(2y+z\right)^2+z^2=10$

Vì $x,y,z$là các số nguyên nên $\left(x+y-2z\right)^2,\left(2y+z\right)^2,z^2$là các số chính phương.

Phân tích $10$thành tổng của các số chính phương: $10=0+1+9$là cách duy nhất nên ta có các trường hợp:

- Nếu $z^2=0\Leftrightarrow z=0$thì $\left(2y\right)^2=1$hoặc $\left(2y\right)^2=9$không có nghiệm nguyên vì $2y$là số chẵn.

- Nếu $\left(2y+z\right)^2=0\Leftrightarrow z=-2y$thì $z^2=\left(-2y\right)^2=1$hoặc $z^2=9$tương tự cũng không có nghiệm nguyên.

- Nếu $x+y-2z=0$, ta xét bảng giá trị thu được các nghiệm của phương trình.

Câu trả lời:

$x^2+5y^2+6z^2+2xy-4xz=10$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+4z^2+2xy-4xz-4yz+4y^2+4yz+z^2+z^2=10$

$\Leftrightarrow\left(x+y-2z\right)^2+\left(2y+z\right)^2+z^2=10$

Vì $x,y,z$là các số nguyên nên $\left(x+y-2z\right)^2,\left(2y+z\right)^2,z^2$là các số chính phương.

Phân tích $10$thành tổng của các số chính phương: $10=0+1+9$là cách duy nhất nên ta có các trường hợp:

- Nếu $z^2=0\Leftrightarrow z=0$thì $\left(2y\right)^2=1$hoặc $\left(2y\right)^2=9$không có nghiệm nguyên vì $2y$là số chẵn.

- Nếu $\left(2y+z\right)^2=0\Leftrightarrow z=-2y$thì $z^2=\left(-2y\right)^2=1$hoặc $z^2=9$tương tự cũng không có nghiệm nguyên.

- Nếu $x+y-2z=0$, ta xét bảng giá trị thu được các nghiệm của phương trình.