Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta cần giải phương trình:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Bước 1: Đặt ẩn phụ để đơn giản
Đặt:
\(a = x^{3} , b = \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} , v \overset{ˊ}{\hat{e}} p h ả i = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Nhưng tốt hơn, ta giải trực tiếp.
Bước 2: Nhớ hằng đẳng thức lập phương
Ta có:
\(\left(\right. a + b \left.\right)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b \left(\right. a + b \left.\right)\)
Ở đây không cần mở theo tổng lập phương, mà chỉ cần khai triển:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Khai triển \(\left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3}\):
\(\left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = 1 - 3 x^{2} + 3 x^{4} - x^{6}\)
Khi đó:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{3} + 1 - 3 x^{2} + 3 x^{4} - x^{6}\)
Vế trái là:
\(- x^{6} + 3 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 1\)
Vế phải:
\(x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right) = x^{2} - x^{4}\)
Bước 3: Chuyển vế
\(- x^{6} + 3 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 1 - \left(\right. x^{2} - x^{4} \left.\right) = 0\)
Rút gọn:
\(- x^{6} + 3 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 1 - x^{2} + x^{4} = 0\)\(- x^{6} + 4 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 1 = 0\)
Bước 4: Viết lại phương trình
\(- x^{6} + 4 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 1 = 0\)
Ta thử tìm nghiệm nguyên trước.
Bước 5: Thử nghiệm nguyên
Thử \(x = 0\):
\(0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1 \neq 0\)
Thử \(x = 1\):
\(- 1 + 4 + 1 - 4 + 1 = 1 \neq 0\)
Thử \(x = - 1\):
\(- 1 + 4 - 1 - 4 + 1 = - 1 \neq 0\)
Thử \(x = 2\):
\(- 64 + 4 \times 16 + 8 - 16 + 1 = - 64 + 64 + 8 - 16 + 1 = - 7 \neq 0\)
Thử \(x = 3\):
\(- 729 + 4 \times 81 + 27 - 36 + 1 = - 729 + 324 + 27 - 36 + 1 = - 413 \neq 0\)
Bước 6: Thử đặt ẩn phụ
Đặt \(y = x^{2} \Rightarrow x^{3} = x \cdot x^{2} = x \cdot y\)
Phương trình gốc:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Thành:
\(x \cdot y + \left(\right. 1 - y \left.\right)^{3} = y \left(\right. 1 - y \left.\right)\)
Giải phương trình:
\(x \cdot y + \left(\right. 1 - y \left.\right)^{3} = y \left(\right. 1 - y \left.\right) \Rightarrow x \cdot y = y \left(\right. 1 - y \left.\right) - \left(\right. 1 - y \left.\right)^{3}\)
Rút gọn vế phải:
\(\left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. y - \left(\right. 1 - y \left.\right)^{2} \left]\right. = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. y - \left(\right. 1 - 2 y + y^{2} \left.\right) \left]\right. = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. y - 1 + 2 y - y^{2} \left]\right.\)\(= \left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. 3 y - 1 - y^{2} \left]\right. = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left(\right. - y^{2} + 3 y - 1 \left.\right)\)
Vậy:
\(x \cdot y = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left(\right. - y^{2} + 3 y - 1 \left.\right) \Rightarrow x = \frac{\left(\right. 1 - y \left.\right) \left(\right. - y^{2} + 3 y - 1 \left.\right)}{y}\)
Nhưng phương trình này phức tạp và không đơn giản hóa được dễ dàng. Quay lại tìm nghiệm gần đúng hoặc nghiệm đặc biệt.
Bước 7: Dùng phương pháp thử số
Ta có:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Thử \(x = 0.5\):
Vế trái:
\(\left(\right. 0.5 \left.\right)^{3} + \left(\right. 1 - 0.25 \left.\right)^{3} = 0.125 + \left(\right. 0.75 \left.\right)^{3} \approx 0.125 + 0.422 = 0.547\)
Vế phải:
undefined
Dùng máy tính hoặc công cụ giải số, ta tìm được:
- Một nghiệm gần x ≈ 0.328
- Ngoài ra có thể có nghiệm phức
✅ Kết luận:
Phương trình:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Tương đương với:
\(- x^{6} + 4 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 1 = 0\)
Không có nghiệm nguyên. Có ít nhất một nghiệm thực xấp xỉ:
\(x \approx 0.328\)
ĐKXĐ: \(x\ge0\)
Ta có:
\(VT=\left(x+1\right)\sqrt{x}+4x=\frac12\left(x+1\right).2.1.\sqrt{x}+4x\le\frac12\left(x+1\right).\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\le\frac32\left(x+1\right)^2\) (1)
Lại có:
\(\sqrt{x^2-x+1}=\frac12\sqrt{4x^2-4x+4}=\frac12\sqrt{3\left(x-1\right)^2+\left(x+1\right)^2}\ge\frac12\sqrt{\left(x+1\right)^2}=\frac12\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow3\left(x+1\right)\sqrt{x^2-x+1}\ge\frac32\left(x+1\right)^2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(x+1\right)\sqrt{x}+4x\le3\left(x+1\right)\sqrt{x^2-x+1}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=1
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=1\)
d)\(2x^2+4x=\sqrt{\frac{x+3}{2}}\)
ĐK:\(x\ge-3\)
\(\Leftrightarrow4x^4+16x^3+16x^2=\frac{x+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{8x^4+32x^3+32x^2-x-3}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow8x^4+32x^3+32x^2-x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2+3x-1\right)\left(4x^2+10x+3\right)=0\)
d)\(2x^2+4x=\sqrt{\frac{x+3}{2}}\)
ĐK:\(x\ge-3\)
\(\Leftrightarrow4x^4+16x^3+16x^2=\frac{x+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{8x^4+32x^3+32x^2-x-3}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow8x^4+32x^3+32x^2-x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2+3x-1\right)\left(4x^2+10x+3\right)=0\)
Bài 1:
Đặt \(\hept{\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}}\) hpt thành:
\(\hept{\begin{cases}S^2-P=3\\S+P=9\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S^2-P=3\\S=9-P\end{cases}}\Leftrightarrow\left(9-P\right)^2-P=3\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}P=6\Rightarrow S=3\\P=13\Rightarrow S=-4\end{cases}}\).Thay 2 trường hợp S và P vào ta tìm dc
\(\hept{\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}}\)và\(\hept{\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}}\)
Câu 3: ĐK: \(x\ge0\)
Ta thấy \(x-\sqrt{x-1}=0\Rightarrow x=\sqrt{x-1}\Rightarrow x^2-x+1=0\) (Vô lý), vì thế \(x-\sqrt{x-1}\ne0.\)
Khi đó \(pt\Leftrightarrow\frac{3\left[x^2-\left(x-1\right)\right]}{x+\sqrt{x-1}}=x+\sqrt{x-1}\Rightarrow3\left(x-\sqrt{x-1}\right)=x+\sqrt{x-1}\)
\(\Rightarrow2x-4\sqrt{x-1}=0\)
Đặt \(\sqrt{x-1}=t\Rightarrow x=t^2+1\Rightarrow2\left(t^2+1\right)-4t=0\Rightarrow t=1\Rightarrow x=2\left(tm\right)\)
Điều kiện tự làm nha.
\(\sqrt{x\left(x+1\right)}+\sqrt{x\left(x+2\right)}=\sqrt{x\left(x+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=0\left(1\right)\\\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}=0\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{x+3}\)
\(\Leftrightarrow2x+3+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=x+3\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=-x\)
Tới đây thì bình phương 2 vế rồi giải phương trình bậc 2 nhé