Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=2\sqrt{x}+\sqrt{2x+2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}-2\sqrt{x}=\sqrt{2x+2}-\sqrt{3x+1}\)
\(\Leftrightarrow x+3+4x-4\sqrt{x+3}.\sqrt{x}=2x+2+3x+1-2\sqrt{2x+2}.\sqrt{3x+1}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x+3}.\sqrt{x}=\sqrt{2x+2}.\sqrt{3x+1}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+3x\right)=6x^2+8x+2\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+3x\right)=6x^2+8x+2\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Bổ sung tiếp bài của dưới
\(4\left(x^2+3x\right)-6x^2-8x-2=0\)
\(\Rightarrow4x^2-12x-6x^2-8x-2=0\)
\(\Rightarrow-2x^2+4x-2=\left(-2\right)\left(x^2-2x+1\right)=0\)
\(\Rightarrow-2\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\)
Câu 1: Ta có
\(\sqrt{x}=\sqrt{17-12\sqrt{2}}=\sqrt{9-2.3.2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)^2}=3-2\sqrt{2}\)
Vậy thì \(f\left(x\right)=\frac{1-3+2\sqrt{2}+17-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}=\frac{15}{3-2\sqrt{2}}=45+30\sqrt{2}\)
Câu 2: ĐK: \(0\le x\le1\)
\(pt\Leftrightarrow\sqrt{3x\left(x+1\right)}+\sqrt{x\left(1-x\right)}=2x+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{3x+3}+\sqrt{1-x}\right)=\frac{1}{2}\left(4x+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{3x+3}+\sqrt{1-x}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(3x+3\right)-\left(1-x\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{3x+3}+\sqrt{1-x}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3x+3}+\sqrt{1-x}\right)\left(\sqrt{3x+3}-\sqrt{1-x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3x+3}+\sqrt{1-x}\right)\left[\sqrt{x}-\frac{1}{2}\left(\sqrt{3x+3}-\sqrt{1-x}\right)\right]=0\)
TH1: \(\sqrt{3x+3}+\sqrt{1-x}=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x+3=0\\1-x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\x=1\end{cases}}\) (Vô lý)
TH2: \(2\sqrt{x}-\sqrt{3x+3}+\sqrt{1-x}=0\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{3x+3}\Leftrightarrow4x+1-x+4\sqrt{x\left(1-x\right)}=3x+3\)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{x\left(1-x\right)}=2\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\left(tm\right)\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=\frac{1}{2}\)
a) dat x-1=a
x=a+1
\(a+1+\sqrt{5+\sqrt{a}}=6\)
\(5-a=\sqrt{5+\sqrt{a}}\)
\(25-10a+a^2=5+\sqrt{a}\)
\(20-10a+a^2-\sqrt{a}=0\)
(a - \sqrt{5} - 5) (a + \sqrt{a} - 4) = 0
a) \(\text{Đ}K\text{X}\text{Đ}:\frac{3}{2}\le x\le\frac{5}{2}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(VT=\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\le\sqrt{2\left(2x-3+5-2x\right)}=2\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\sqrt{2x-3}=\sqrt{5-2x}\Leftrightarrow x=2\)
Lại có: \(VP=3x^2-12x+14=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)
Dấu '=' xảy ra khi x=2
Do đó VT=VP khi x=2
b) ĐK: \(x\ge0\). Ta thấy x=0 k pk là nghiệm của pt, chia 2 vế cho x ta có:
\(x^2-2x-x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4=0\Leftrightarrow x-2-\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{4}{x}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{4}{x}\right)-\left(\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)-2=0\)
Đặt \(\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}=t>0\Leftrightarrow t^2=x+4+\frac{4}{x}\Leftrightarrow x+\frac{4}{x}=t^2-4\), thay vào ta có:
\(\left(t^2-4\right)-t-2=0\Leftrightarrow t^2-t-6=0\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=3\\t=-2\end{cases}}\)
Đối chiếu ĐK của t
\(\Rightarrow t=3\Leftrightarrow\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}=3\Leftrightarrow x-3\sqrt{x}+2=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=1\end{cases}}\)
a) ĐKXĐ : \(x\ge5\)
Đặt \(\sqrt{x-5}=a;\sqrt[3]{3-x}=b\)(a \(\ge0\))
Khi đó phương trình thành a + b = 2
Lại có \(b^3+a^2=-2\)
=> HPT : \(\hept{\begin{cases}a+b=2\\b^3+a^2=-2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2-b\\b^3+\left(2-b\right)^2=-2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2-b\\b^3+b^2-4b+6=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2-b\\\left(b+3\right)\left(b^2-2b+2\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2-b\\b=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5\\b=-3\end{cases}}\)(tm)
a = 5 => x = 30 (tm)
Vậy x = 30 là nghiệm phương trình
d) Ta có \(\sqrt{25x^2-20x+4}+\sqrt{25x^2-40x+16}=0\)
<=> \(\sqrt{\left(5x-2\right)^2}+\sqrt{\left(5x-4\right)^2}=2\)
<=> |5x - 2| + |5x - 4| = 2
Lại có |5x - 2| + |5x - 4| = |5x - 2| + |4 - 5x| \(\ge\left|5x-2+4-5x\right|=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(5x-2\right)\left(4-5x\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{2}{5}\le x\le\frac{4}{5}\)
Vậy \(\frac{2}{5}\le x\le\frac{4}{5}\)là nghiệm phương trình
`\sqrt{2x^2+3x+2}-\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x}(x>=0)`
`<=>\sqrt{2(x^2+x+1)+x}-\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x}`
Đặt: `\sqrt{x^2+x+1}=a;\sqrt{x}=b(a,b>=0)`
Khi đó ta được:
`\sqrt{2a^2+b^2}-a=b`
`<=>2a^2+b^2=(a+b)^2`
`<=>2a^2+b^2=a^2+2ab+b^2`
`<=>2a^2=a^2+2ab`
`<=>a^2-2ab=0`
`<=>a(a-2b)=0`
`TH1:a=0(tm)`
`=>\sqrt{x^2+x+1}=0`
`=>x^2+x+1=0` (vô lý)
`TH2:a-2b=0`
`<=>a=2b`
`<=>\sqrt{x^2+x+1}=2\sqrt{x}`
`<=>x^2+x+1=4x`
`<=>x^2-3x+1=0`
`\Delta=(-3)^2-4*1*1=5>0`
`x_1=(3+\sqrt{5})/2`(tm)
`x_2=(3-\sqrt{5})/2`(tm)
Vậy: `...`
Chúng ta cần giải phương trình:
\(\frac{2 x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + x + 1} = x\)
Bước 1: Nhân chéo để khử mẫu
Giả sử \(x^{2} + x + 1 \neq 0\), ta nhân hai vế với mẫu số \(x^{2} + x + 1\):
\(2 x^{2} + 3 x + 2 = x \left(\right. x^{2} + x + 1 \left.\right)\)
Bước 2: Khai triển vế phải
\(x \left(\right. x^{2} + x + 1 \left.\right) = x^{3} + x^{2} + x\)
Giờ phương trình trở thành:
\(2 x^{2} + 3 x + 2 = x^{3} + x^{2} + x\)
Bước 3: Chuyển vế để giải phương trình
\(0 = x^{3} + x^{2} + x - 2 x^{2} - 3 x - 2\)\(0 = x^{3} - x^{2} - 2 x - 2\)
Bước 4: Giải phương trình bậc 3
\(x^{3} - x^{2} - 2 x - 2 = 0\)
Ta thử nghiệm nghiệm hữu tỉ bằng phân tích nhân tử hoặc thử nghiệm nghiệm:
Thử \(x = - 1\):
\(\left(\right. - 1 \left.\right)^{3} - \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. - 1 \left.\right) - 2 = - 1 - 1 + 2 - 2 = - 2 \neq 0\)
Thử \(x = 1\):
\(1 - 1 - 2 - 2 = - 4 \neq 0\)
Thử \(x = - 2\):
\(\left(\right. - 2 \left.\right)^{3} - \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. - 2 \left.\right) - 2 = - 8 - 4 + 4 - 2 = - 10 \neq 0\)
Thử \(x = 2\):
\(8 - 4 - 4 - 2 = - 2 \neq 0\)
Không có nghiệm nguyên, ta dùng nhóm hạng tử:
\(x^{3} - x^{2} - 2 x - 2 = \left(\right. x^{2} \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) - 2 \left(\right. x + 1 \left.\right) = ?\)
Không tách được dễ, thử dùng phân tích đa thức bằng Horner:
Dùng phương pháp Horner cho \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{3} - x^{2} - 2 x - 2\)
Dùng máy hoặc công cụ phân tích:
Tìm được một nghiệm xấp xỉ: \(x \approx 2.197\), nghiệm khác là nghiệm phức.
Bước 5: Xét điều kiện xác định
Ta có mẫu số là \(x^{2} + x + 1\)
Phương trình vô nghiệm khi:
\(x^{2} + x + 1 = 0\)
Giải: \(\Delta = 1^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. 1 \left.\right) = - 3 < 0\)
→ Mẫu luôn khác 0, nên phương trình xác định với mọi x.
Kết luận:
Phương trình:
\(\frac{2 x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + x + 1} = x\)
tương đương:
\(x^{3} - x^{2} - 2 x - 2 = 0\)
Phương trình này không có nghiệm hữu tỉ, có 1 nghiệm thực duy nhất xấp xỉ:
\(x \approx 2.197\)
và 2 nghiệm phức.