Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta cần giải phương trình:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Bước 1: Đặt ẩn phụ để đơn giản
Đặt:
\(a = x^{3} , b = \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} , v \overset{ˊ}{\hat{e}} p h ả i = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Nhưng tốt hơn, ta giải trực tiếp.
Bước 2: Nhớ hằng đẳng thức lập phương
Ta có:
\(\left(\right. a + b \left.\right)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b \left(\right. a + b \left.\right)\)
Ở đây không cần mở theo tổng lập phương, mà chỉ cần khai triển:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Khai triển \(\left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3}\):
\(\left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = 1 - 3 x^{2} + 3 x^{4} - x^{6}\)
Khi đó:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{3} + 1 - 3 x^{2} + 3 x^{4} - x^{6}\)
Vế trái là:
\(- x^{6} + 3 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 1\)
Vế phải:
\(x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right) = x^{2} - x^{4}\)
Bước 3: Chuyển vế
\(- x^{6} + 3 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 1 - \left(\right. x^{2} - x^{4} \left.\right) = 0\)
Rút gọn:
\(- x^{6} + 3 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 1 - x^{2} + x^{4} = 0\)\(- x^{6} + 4 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 1 = 0\)
Bước 4: Viết lại phương trình
\(- x^{6} + 4 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 1 = 0\)
Ta thử tìm nghiệm nguyên trước.
Bước 5: Thử nghiệm nguyên
Thử \(x = 0\):
\(0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1 \neq 0\)
Thử \(x = 1\):
\(- 1 + 4 + 1 - 4 + 1 = 1 \neq 0\)
Thử \(x = - 1\):
\(- 1 + 4 - 1 - 4 + 1 = - 1 \neq 0\)
Thử \(x = 2\):
\(- 64 + 4 \times 16 + 8 - 16 + 1 = - 64 + 64 + 8 - 16 + 1 = - 7 \neq 0\)
Thử \(x = 3\):
\(- 729 + 4 \times 81 + 27 - 36 + 1 = - 729 + 324 + 27 - 36 + 1 = - 413 \neq 0\)
Bước 6: Thử đặt ẩn phụ
Đặt \(y = x^{2} \Rightarrow x^{3} = x \cdot x^{2} = x \cdot y\)
Phương trình gốc:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Thành:
\(x \cdot y + \left(\right. 1 - y \left.\right)^{3} = y \left(\right. 1 - y \left.\right)\)
Giải phương trình:
\(x \cdot y + \left(\right. 1 - y \left.\right)^{3} = y \left(\right. 1 - y \left.\right) \Rightarrow x \cdot y = y \left(\right. 1 - y \left.\right) - \left(\right. 1 - y \left.\right)^{3}\)
Rút gọn vế phải:
\(\left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. y - \left(\right. 1 - y \left.\right)^{2} \left]\right. = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. y - \left(\right. 1 - 2 y + y^{2} \left.\right) \left]\right. = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. y - 1 + 2 y - y^{2} \left]\right.\)\(= \left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. 3 y - 1 - y^{2} \left]\right. = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left(\right. - y^{2} + 3 y - 1 \left.\right)\)
Vậy:
\(x \cdot y = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left(\right. - y^{2} + 3 y - 1 \left.\right) \Rightarrow x = \frac{\left(\right. 1 - y \left.\right) \left(\right. - y^{2} + 3 y - 1 \left.\right)}{y}\)
Nhưng phương trình này phức tạp và không đơn giản hóa được dễ dàng. Quay lại tìm nghiệm gần đúng hoặc nghiệm đặc biệt.
Bước 7: Dùng phương pháp thử số
Ta có:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Thử \(x = 0.5\):
Vế trái:
\(\left(\right. 0.5 \left.\right)^{3} + \left(\right. 1 - 0.25 \left.\right)^{3} = 0.125 + \left(\right. 0.75 \left.\right)^{3} \approx 0.125 + 0.422 = 0.547\)
Vế phải:
undefined
Dùng máy tính hoặc công cụ giải số, ta tìm được:
- Một nghiệm gần x ≈ 0.328
- Ngoài ra có thể có nghiệm phức
✅ Kết luận:
Phương trình:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Tương đương với:
\(- x^{6} + 4 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 1 = 0\)
Không có nghiệm nguyên. Có ít nhất một nghiệm thực xấp xỉ:
\(x \approx 0.328\)
a)DK:x>0.
->\(\sqrt[3]{x^2}\) =20+\(\sqrt[3]{x}\) \(\ge\)20
->DK:\(\sqrt[3]{x}\)\(\ge\) \(\sqrt{20}\) >\(\frac{3}{2}\).
Đặt :\(\sqrt[3]{x}\) =a (a\(\ge\)\(\sqrt{20}\)>\(\frac{3}{2}\) ).
Khi đó ta có phương trình sau:
a2-3a=20.
Giải ra ta có:(a-\(\frac{3}{2}\))2=\(\frac{89}{4}\) mà a>\(\frac{3}{2}\) nên a-\(\frac{3}{2}\) >0.
hay a-\(\frac{3}{2}\) =\(\frac{\sqrt{89}}{2}\).
->a=\(\frac{\sqrt{89}+3}{2}\) (tm).
hay x=(\(\frac{\sqrt{89}+3}{2}\))3 (tm).
Vậy...
b)DK:x\(\varepsilon\) R.
Đặt:\(\sqrt{x^2+1}\)=a (a\(\ge\)1) ; 2x-1=b.->4x-1=2b+1.
Khi đó ta có được phương trình sau:
a.(2b+1)=2a2+b.
<->2ab+a=2a2+b.
<->2a2-2ab-a+b=0.
<->2a(a-b)-(a-b)=0
<->(2a-1).(a-b)=0 mà a\(\ge\)1->2a-1>0.
<->a=b
->a2=b2 hay x2+1=(2x-1)2
Giải ra ta có:3x2-4x=0.
hay x.(3x-4)=0.
<->\(\orbr{\begin{cases}x=0\left(tm\right)\\x=\frac{4}{3}\left(tm\right)\end{cases}}\)
Vậy...
c)DK:x\(\ge\) 2.
->\(\sqrt{\left(x+1\right).\left(x-2\right)}\) -2\(\sqrt{x-2}\)=\(\sqrt{x-1}\)
->DK:x>3.
tối rồi buồn ngủ không giải nữa.
d)\(2x^2+4x=\sqrt{\frac{x+3}{2}}\)
ĐK:\(x\ge-3\)
\(\Leftrightarrow4x^4+16x^3+16x^2=\frac{x+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{8x^4+32x^3+32x^2-x-3}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow8x^4+32x^3+32x^2-x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2+3x-1\right)\left(4x^2+10x+3\right)=0\)
d)\(2x^2+4x=\sqrt{\frac{x+3}{2}}\)
ĐK:\(x\ge-3\)
\(\Leftrightarrow4x^4+16x^3+16x^2=\frac{x+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{8x^4+32x^3+32x^2-x-3}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow8x^4+32x^3+32x^2-x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2+3x-1\right)\left(4x^2+10x+3\right)=0\)
a)
Đặt \(\sqrt[3]{x}=a\). Khi đó pt trở thành:
\(a^2-3a=20\)
\(\Leftrightarrow a^2-3a+\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{89}{4}\)
\(\Leftrightarrow (a-\frac{3}{2})^2=\frac{89}{4}\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{89}}{2}\\ a-\frac{3}{2}=\frac{-\sqrt{89}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{89}}{2}\\ a=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{89}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=a^3=\left(\frac{3+\sqrt{89}}{2}\right)^3\\ x=a^3=\left(\frac{3-\sqrt{89}}{2}\right)^3\end{matrix}\right.\)
b)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+1}=a\\ 2x-1=b\end{matrix}\right.(a>0)\)
Khi đó, pt trở thành:
\(a(2b+1)=2a^2+b\)
\(\Leftrightarrow (2a^2-2ab)-(a-b)=0\)
\(\Leftrightarrow 2a(a-b)-(a-b)=0\)
\(\Leftrightarrow (2a-1)(a-b)=0\)
Từ đây xét các TH:
TH1: \(2a-1=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{4}-1=\frac{-3}{4}< 0\) (vô lý)
TH2: \(a-b=0\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}=2x-1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+1=(2x-1)^2\\ 2x-1\geq 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x^2-4x=0\\ x\geq \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow x=\frac{4}{3}\)
Vậy.......
chịu
ĐKXĐ: \(x\ge0\)
Ta có:
\(VT=\left(x+1\right)\sqrt{x}+4x=\frac12\left(x+1\right).2.1.\sqrt{x}+4x\le\frac12\left(x+1\right).\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\le\frac32\left(x+1\right)^2\) (1)
Lại có:
\(\sqrt{x^2-x+1}=\frac12\sqrt{4x^2-4x+4}=\frac12\sqrt{3\left(x-1\right)^2+\left(x+1\right)^2}\ge\frac12\sqrt{\left(x+1\right)^2}=\frac12\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow3\left(x+1\right)\sqrt{x^2-x+1}\ge\frac32\left(x+1\right)^2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(x+1\right)\sqrt{x}+4x\le3\left(x+1\right)\sqrt{x^2-x+1}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=1
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=1\)