Question

[Vũ Huy Hoàng]

Giải phương trình nghiệm nguyên:

1) \(x^2+y^2=x+y\)

2) \(x+y=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Cho tui hỏi là 2 pt này có giải được không ạ, thấy bạn tui trên fb hỏi bài này

Answer 1

[svtkvtm]

\(\left(x,y\right)\rightarrow\left(a,b\right)\)

\(+,a=0\Rightarrow b^2=b\Leftrightarrow a^2=a\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=1\end{matrix}\right.\)

\(tt:b=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=0\end{matrix}\right.\)

\(+,a;b\ne0\Rightarrow a^2\ge a;b^2\ge b\left("="\Leftrightarrow a=1;b=1\right)ma:a^2+b^2=a+b\Rightarrow a=b=1\)

vậy:..

Answer 2

[Trần Thanh Phương]

a strange way to solve...

1) \(x^2+y^2=x+y\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+y^2-y=0\)

Coi phương trình trên là pt bậc 2 với ẩn là x.

+) Xét \(x=0\Leftrightarrow y=0\)( thỏa )

+) Xét \(x\ne0\)

Để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow1^2-4\left(y^2-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-4y^2+4y\ge0\)

\(\Leftrightarrow4y^2-4y-1\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-1\right)^2\le2\)

\(\Leftrightarrow0\le\left(2y-1\right)^2\le2\)

Vì y nguyên nên \(2y-1\) nguyên

Do đó \(\left(2y-1\right)^2\in\left\{0;1\right\}\)

\(\Leftrightarrow2y-1\in\left\{0;1\right\}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\frac{1}{2}\left(loai\right)\\y=1\left(thoa\right)\end{matrix}\right.\)

Khi \(y=1\) ta có \(pt\Leftrightarrow x^2+1=x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-x=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(loai\right)\\x=1\left(chon\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left\{\left(0;0\right);\left(1;1\right);\left(0;1\right);\left(1;0\right)\right\}\)

Hết nghiệm chưa ?