Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(t=3x^2+5x+2\)
Do đó ta có:\(\sqrt{3x^2+5x+7}-\sqrt{3x^2+5^2+2}=1\)
\(\sqrt{t+5}-\sqrt{t}=1\)
\(\left(\sqrt{t+5}-\sqrt{t}\right)^2=1\)
\(t+5-2\sqrt{t\left(t+5\right)}+t=1\)
\(2t-2\sqrt{t\left(t+5\right)}+5=1\)
\(2t+4=2\sqrt{t\left(t+5\right)}\)
\(\left(t+2\right)^2=t\left(t+5\right)\)
\(4t+4=5t\)
\(\Rightarrow t=4\)
Tại t=4 ta được:\(3x^2+5x+2=4\)
\(3x^2+5x-2=0\)
\(3x^2+6x-x-2=0\)
\(\Rightarrow\left(3x-1\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}3x-1=0\\x+2=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\x=-2\end{cases}}\)
Câu a:
ĐKXĐ: \(x\geq 1\)
\(\sqrt{x-1}-\sqrt{5x-1}=\sqrt{3x-2}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=\sqrt{3x-2}+\sqrt{5x-1}\)
\(\Rightarrow x-1=8x-3+2\sqrt{(3x-2)(5x-1)}\) (bình phương 2 vế)
\(\Leftrightarrow 7x-2+2\sqrt{(3x-2)(5x-1)}=0\)
(Vô lý với mọi \(x\geq 1\) )
Do đó PT vô nghiệm.
Câu b)
PT \(\Leftrightarrow \sqrt{3(x^2+2x+1)+4}+\sqrt{5(x^2+2x+1)+9}=5-(x^2+2x+1)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{3(x+1)^2+4}+\sqrt{5(x+1)^2+9}=5-(x+1)^2\)
Vì \((x+1)^2\geq 0, \forall x\) nên:
\(\sqrt{3(x+1)^2+4}\geq \sqrt{4}=2\)
\(\sqrt{5(x+1)^2+9}\geq \sqrt{9}=3\)
\(\Rightarrow \sqrt{3(x+1)^2+4}+\sqrt{5(x+1)^2+9}\geq 5(1)\)
Mặt khác ta cũng có: \(5-(x+1)^2\leq 5-0=5(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \sqrt{3(x+1)^2+4}+\sqrt{5(x+1)^2+9}\geq 5\geq 5-(x+1)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi $(x+1)^2=0$ hay $x=-1$ (thỏa mãn)
Vậy pt có nghiệm $x=-1$
dk \(x\ge0;2x+1\ge0< =>x\ge0\)
2(x+1)\(\sqrt{x}+\sqrt{3\left(x+1\right)^2\left(2x+1\right)}=\left(x+1\right)\left(5x^2-8x+8\right)< =>\)
\(2\sqrt{x}+\sqrt{3\left(2x+1\right)}=5x^2-8x+8\)(x+1>0 với x\(\ge0\)) <=>
2\(\sqrt{x}-2+\sqrt{6x+3}-3=5x^2-8x+3\) <=>\(\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{6\left(x-1\right)}{\sqrt{6x+3}+3}=\left(x-1\right)\left(5x-3\right)< =>\)x-1=0 <=>x= 1 hoặc
\(\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{6}{\sqrt{6x+3}+3}=5x-3\)
x>1 thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{6}{\sqrt{6x+3}+3}< \frac{2}{1+1}+\frac{6}{3+3}=2\) hay 5x- 3<2 <=> x<1( vô lý)
x<1 thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{6}{\sqrt{6x+3}+}>2\) hay 5x-3>2 <=> x>1 (vô lý)
x=1 thỏa mãn
vậy pt có nghiệm duy nhất x=1
(1)Phương trình đã cho tương đương với:
√3x2−7x+3−√3x2−5x−1=√x2−2−√x2−3x+43x2−7x+3−3x2−5x−1=x2−2−x2−3x+4
⇔−2x+4√3x2−7x+3+√3x2−5x−1=3x−6√x2−2+√x2−3x+4⇔−2x+43x2−7x+3+3x2−5x−1=3x−6x2−2+x2−3x+4
Đến đây thì bạn có thể suy ra nghiệm của phương trình sau cùng là x=2x=2. Kiểm tra lại điều kiện ban đầu để kết luận nghiệm của phương trình đã cho.
(2)đk:23≤x≤723≤x≤7
Phương trình đã cho tương đương với:
3x−18√3x−2+4+x−6√7−x−1+(x−6)(3x2+x−2)3x−183x−2+4+x−67−x−1+(x−6)(3x2+x−2)=0
⇔(x−6)(3√3x−2+4+1√7−x−1+3x2+x−2)⇔(x−6)(33x−2+4+17−x−1+3x2+x−2)=0
⇔x=6⇔x=6
vì với 23≤x≤723≤x≤7
thì: (3√3x−2+4+1√7−x−1+3x2+x−2)(33x−2+4+17−x−1+3x2+x−2)>0
Đặt \(t=\sqrt{3x^2+5x+1}\left(t\ge0\right)\)
pt đã cho trở thành: \(\sqrt{t^2+7}-t=1\Leftrightarrow\sqrt{t^2+7}=t+1\)
- bình phương 2 vế, giải ra t, trả lại nghiệm x, tìm x
\(\sqrt {3{x^2} + 5x + 8} - \sqrt {3{x^2} + 5x + 1} = 1\\ \text{Điều kiện}: \forall x \in \mathbb{R}\\ \text{Đặt}:\sqrt {3{x^2} + 5x + 8} =a; \sqrt {3{x^2} + 5x + 1} = b\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - b = 1\\ {a^2} - {b^2} = 7 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = b + 1\\ {\left( {b + 1} \right)^2} - {b^2} = 7 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = b + 1\\ 2b = 6 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = 3 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {3{x^2} + 5x + 8} = 4\\ \sqrt {3{x^2} + 5x + 1} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 5x + 8 = 16\\ 3{x^2} + 5x + 1 = 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 5x - 8 = 0\\ 3{x^2} + 5x - 8 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {3x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - \dfrac{8}{3} \end{array} \right. \)