NH
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 2 2020
Dễ dàng nhận ra x;y;z dương.
\(y^2+1=x+\frac{1}{x}\ge2\Rightarrow y^2\ge1\Rightarrow y\ge\frac{1}{y}\)
Tương tự ta có: \(x\ge\frac{1}{x};z\ge\frac{1}{z}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) (1)
Lại có \(x+\frac{1}{x}=y^2+1\ge2y\)
Tương tự: \(y+\frac{1}{y}\ge2z;z+\frac{1}{z}\ge2x\Rightarrow x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow x+y+z\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
HP
17 tháng 4 2021
1.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y+x^3y+xy^2+xy=-\dfrac{5}{4}\\x^4+y^2+xy\left(1+2x\right)=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2+y\right)+xy+xy\left(x^2+y\right)=-\dfrac{5}{4}\\\left(x^2+y\right)^2+xy=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\left(1\right)\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y=a\\xy=b\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+ab=-\dfrac{5}{4}\\a^2+b=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-a^2-\dfrac{5}{4}-a\left(a^2+\dfrac{5}{4}\right)=-\dfrac{5}{4}\\b=-a^2-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-a^3-\dfrac{1}{4}a=0\\b=-a^2-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-a\left(a^2-a+\dfrac{1}{4}\right)=0\\b=-a^2-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\\b=-a^2-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y=0\\xy=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt[3]{10}}{2}\\y=-\dfrac{5}{2\sqrt[3]{10}}\end{matrix}\right.\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y=\dfrac{1}{2}\\xy=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(\dfrac{\sqrt[3]{10}}{2};-\dfrac{5}{2\sqrt[3]{10}}\right);\left(1;-\dfrac{3}{2}\right)\right\}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 4 2021
2.
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^3-16\left(x+1\right)=\left(\dfrac{2}{y}\right)^3-4\left(\dfrac{2}{y}\right)\\1+\left(\dfrac{2}{y}\right)^2=5\left(x+1\right)^2+5\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=u\\\dfrac{2}{y}=v\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u^3-16u=v^3-4v\\v^2=5u^2+4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u^3-v^3=16u-4v\\4=v^2-5u^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4\left(u^3-v^3\right)=\left(16u-4v\right)\left(v^2-5u^2\right)\)
\(\Leftrightarrow21u^3-5u^2v-4uv^2=0\)
\(\Leftrightarrow u\left(7u-4v\right)\left(3u+v\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}u=0\Rightarrow v^2=4\\u=\dfrac{4v}{7}\Rightarrow4=v^2-5\left(\dfrac{4v}{7}\right)^2\\v=-3u\Rightarrow4=\left(-3u\right)^2-5u^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow...\)
NT
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 1 2020
Lời giải:
ĐK: $xy\geq 0$
Xét PT $(1)$:
\(x+y=1+\sqrt{xy}(*)\Rightarrow (x+y)^2=(1+\sqrt{xy})^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=1+2\sqrt{xy}-xy=2-(\sqrt{xy}-1)^2\leq 2\)
Xét PT $(2)$:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{x^2+3}+\sqrt{y^2+3}\leq \frac{4+(x^2+3)}{4}+\frac{4+(y^2+3)}{4}=\frac{14+x^2+y^2}{4}\leq \frac{14+2}{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi : \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}-1=0\\ x^2+3=4\\ y^2+3=4\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=\pm 1\)
Mặt khác từ $(*)$ suy ra $x+y>0$ nên $x=y=1$ là đáp án cuối cùng.