Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2+1}{y}+x+y=4\\\left(x+y\right)^2-2\left(\frac{x^2+1}{y}\right)=7\end{cases}}\)(ĐKXD : \(y\ne0\))
Đặt \(\frac{x^2+1}{y}=u\) ; \(x+y=t\)
Hệ phương trình \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}u+t=4\left(1\right)\\t^2-2u=7\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) suy ra : \(u=4-t\)thay vào (2) được phương trình : \(t^2-2\left(4-t\right)=7\Leftrightarrow t^2+2t-15=0\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+5\right)=0\)
\(\Rightarrow t=3\)hoặc \(t=-5\)
1. Với t = 3 => u = 1, ta có hệ:
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2+1}{y}=1\\x+y=3\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=5\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)
2. Với t = -5 => u = 9 , ta có hệ :
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2+1}{y}=9\\x+y=-5\end{cases}}\)\(\Rightarrow x,y\)vô nghiệm.
Vậy : Tập nghiệm của hệ phương trình là : \(\left(x;y\right)=\left(-2;5\right);\left(1;2\right)\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2+1}{y}+x+y=4\\\left(x+y\right)^2-2\left(\frac{x^2+1}{y}\right)=7\end{cases}}\)(ĐKXD : \(y\ne0\))
ĐKXĐ: ...
Nhận thấy \(x=0\) ko phải nghiệm, hệ tương đương:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{3x}{x+y}+\frac{3x}{\sqrt{x}-1}=9x\\\frac{3y}{x+y}-\sqrt{x}=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3+\frac{3x}{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x}=9x-2\)
\(\Leftrightarrow9x\sqrt{x}-11x-6\sqrt{x}+5=0\)
\(\Leftrightarrow9t^3-11t^2-6x+5=0\)
Pt bậc 3 này nghiệm quá xấu, chắc bạn ghi nhầm 1 hệ số nào đó
a/ Đơn giản là dùng phép thế:
\(x+2y+x+y+z=0\Rightarrow x+2y=0\Rightarrow x=-2y\)
\(x+y+z=0\Rightarrow z=-\left(x+y\right)=-\left(-2y+y\right)=y\)
Thế vào pt cuối:
\(\left(1-2y\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=26\)
Vậy là xong
b/ Sử dụng hệ số bất định:
\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{12}-\frac{z}{4}\right)=a\\b\left(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}+\frac{z}{3}\right)=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}\right)x+\left(\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\right)y+\left(\frac{-a}{4}+\frac{b}{3}\right)z=a+b\) (1)
Ta cần a;b sao cho \(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\\\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{5}\)
Chọn \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=5\end{matrix}\right.\) thay vào (1):
\(\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)=7\Rightarrow x+y+z=6\)
Bài 2:
b) Với y = 0 thì vt của pt thứ 2 = 0 => loại.
Xét y khác 0:
Nhân pt thứ nhất với \(\frac{7}{5}\) rồi trừ đi pt thứ 2 thu được:
\(\frac{14}{5}x^3+\frac{21}{5}x^2y-y^3-6xy^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{5}\left(x-y\right)\left(14x^2+35xy+5y^2\right)=0\)
Với x = y, thay vào pt thứ 2:
\(7x^3=7\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)
Với \(14x^2+35xy+5y^2=0\)
\(\Leftrightarrow14\left(\frac{x}{y}\right)^2+35\left(\frac{x}{y}\right)+5=0\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\) suy ra: \(14t^2+35t+5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\frac{-35+3\sqrt{105}}{28}\\t=\frac{-35-3\sqrt{105}}{28}\end{matrix}\right.\)
Nghiệm xấu quá, chị tự thay vào giải nốt :D. Nhớ check xem em có tính nhầm chỗ nào ko:D
3/ Sửa phân thức thứ 3 thành: \(\frac{1}{1+c^3}\).
Quy đồng lên ta cần chứng minh: \(\frac{\Sigma_{cyc}\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)}{\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)}\ge\frac{3}{1+abc}\)
\(\Leftrightarrow abc\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)+2abc\left(a^3+b^3+c^3\right)-3a^3b^3c^3-\left[a^3+b^3+c^3-3abc+2\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\right]\ge0\)Đến đây chắc là đổi biến sang pqr rồi làm nốt ạ! Hơi trâu bò tí, cách khác em chưa nghĩ ra.
Ta có \(x+y+z=2\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z}=\frac{1}{2}\)
Mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\)
Suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz+yz+z^2}\right)=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{xy+xz+yz+z^2}{xy\left(xz+yz+z^2\right)}\right]=0\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{xy\left(xz+yz+z^2\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)
TH1: x=-y\(\Leftrightarrow x+y+z=2\Leftrightarrow\left(-y\right)+y+z=2\Leftrightarrow z=2\)
TH2: y=-z\(\Leftrightarrow x+y+z=2\Leftrightarrow x+\left(-z\right)+z=2\Leftrightarrow x=2\)
TH3: z=-x\(\Leftrightarrow x+y+z=2\Leftrightarrow x+y+\left(-x\right)=2\Leftrightarrow y=2\)
Suy ra có ít nhất một trong ba số x,y,z bằng 2
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{y+z}{x\left(x+y+z\right)}+\frac{y+z}{yz}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(\frac{1}{x\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y+z=0\\\frac{1}{x\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2-x=0\\x^2+xy+xz=-yz\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^2+xy+xz+yz=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\\left(x+y\right)\left(x+z\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\\left(2-z\right)\left(2-y\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\y=2\\z=2\end{matrix}\right.\)
\(x=a;\text{ }\frac{1}{y}=b\)
Có: \(a^2+b^2+ab=7;\text{ }a^2-b^2=3\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2-ab\right)=7\left(a^2-b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2+3ab-10b^2=0\Leftrightarrow\left(a+2b\right)\left(4a-5b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=-2b\text{ }or\text{ }a=\frac{5}{4}b\)
Thay từng cái vô hệ giải tiếp ...