Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giải hệ sau :
Câu a :
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-1\\2x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-1\\-x=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-1\\x=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-3\\x=2\end{matrix}\right.\)
Vậy ...........................
Câu b :
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=a\\\dfrac{1}{y}=b\end{matrix}\right.\) . Ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{1}{5}\\3a+4b=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+3b=\dfrac{3}{5}\\3a+4b=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-b=-\dfrac{7}{5}\\3a+4b=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{7}{5}\\a=-\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{y}=-\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{7}\\y=-\dfrac{5}{6}\end{matrix}\right.\)
Vậy..................
\(a,\left\{{}\begin{matrix}2x-y=4\\x+5y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=4\\2x+10y=6\end{matrix}\right.\left\{{}\begin{matrix}11y=2\\2x+10y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2}{11}\\2x+10.\dfrac{2}{11}=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2}{11}\\2x=\dfrac{46}{11}\end{matrix}\right.\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2}{11}\\x=\dfrac{23}{11}\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
\((\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2=5^2=25\)
\(\Rightarrow x+y+z+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})=25\Rightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\frac{25-9}{2}=8\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz+2\sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})=64\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz+10\sqrt{xyz}=64\)
Thay vào PT(3):
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xy}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{64-10\sqrt{xyz}}{xyz}=\frac{3}{2}\)
Đặt \(\sqrt{xyz}=t\Rightarrow \frac{64-10t}{t^2}=\frac{3}{2}\Rightarrow 3t^2+20t-128=0\)
\(\Rightarrow t=4\) (chọn) hoặc \(t=-\frac{32}{3}< 0\) (loại)
\(\Rightarrow \sqrt{xy}=\frac{4}{\sqrt{z}}\)
\(\Rightarrow 8=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\frac{4}{\sqrt{z}}+\sqrt{z}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\frac{4}{\sqrt{z}}+\sqrt{z}(5-\sqrt{z})\)
Đặt \(\sqrt{z}=k\Rightarrow 8k=4+5k^2-k^3\)
\(\Rightarrow k^3-5k^2+8k-4=0\)
\(\Rightarrow k^2(k-1)-4(k^2-2k+1)=0\)
\(\Rightarrow (k-1)(k-2)^2=0\Rightarrow k=1; k=2\)
Nếu $k=1$ suy ra $z=1$. Thay vào giải hpt 2 ẩn ta thu được $x=y=4$
Nếu $k=2$ thì $z=4$. Thay vào giải hpt 2 ẩn ta thu được $(x,y)=(4,1)$ và hoán vị
Vậy $(x,y,z)=(4,4,1)$ và hoán vị của nó.
\(a.\left\{{}\begin{matrix}4\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=12\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=-3\end{matrix}\right.\) (1)
ĐK xác định : x≠0 ; y≠0
Đặt ẩn phụ : a = \(\dfrac{1}{x}\) ; b = \(\dfrac{1}{y}\)
Thay vào (1) ta được :
\(\left\{{}\begin{matrix}4a+b=12\\a+b=-3\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}3a=15\\a+b=-3\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=-8\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{5}\\y=-\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)
Vậy S = {(\(\dfrac{1}{5};-\dfrac{1}{8}\))}
\(b.\left\{{}\begin{matrix}5\dfrac{1}{x}+2\dfrac{1}{y}=6\\2\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=3\end{matrix}\right.\) (2)
ĐK xác định : x≠0 ; y≠0
Đặt ẩn phụ : a = 1/x ; b = 1/y
Thay vào (2) ta được : \(\left\{{}\begin{matrix}5a+2b=6\\2a-b=3\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}5a+2b=6\\4a-2b=6\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}9a=12\\2a-b=3\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{4}{3}\\b=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{4}\\y=-3\end{matrix}\right.\)
Vậy S = {(\(\dfrac{3}{4};-3\) )}
c) \(\left\{{}\begin{matrix}3\dfrac{1}{x}-6\dfrac{1}{y}=2\\\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=5\end{matrix}\right.\)
ĐK xác định : x≠0 ; y ≠0
Áp dụng quy tác cộng đại số ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}3\dfrac{1}{x}-6\dfrac{1}{y}=2\\\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=5\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}3\dfrac{1}{x}-6\dfrac{1}{y}=2\\3\dfrac{1}{x}-3\dfrac{1}{y}=15\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}-3\dfrac{1}{y}=-13\\\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=5\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{3}{13}\\x=\dfrac{3}{28}\end{matrix}\right.\)
Vậy S = {(\(\dfrac{3}{28};\dfrac{3}{13}\))}
d) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}-4\dfrac{1}{y}=5\\2\dfrac{1}{x}-3\dfrac{1}{y}=1\end{matrix}\right.\)
ĐK xác định : x≠0 ; y≠0
áp dụng quy tắc cộng đại số ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}-4\dfrac{1}{y}=5\\2\dfrac{1}{x}-3\dfrac{1}{y}=1\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}2\dfrac{1}{x}-8\dfrac{1}{y}=10\\2\dfrac{1}{x}-3\dfrac{1}{y}=1\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}-5\dfrac{1}{y}=9\\\dfrac{1}{x}-4\dfrac{1}{y}=5\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{5}{9}\\x=-\dfrac{5}{11}\end{matrix}\right.\)
Vậy S = {(\(-\dfrac{5}{11};-\dfrac{5}{9}\))}
e) ĐK xác định x≠0 ; y≠0
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}-3\dfrac{1}{y}=4\\6\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=2\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}-3\dfrac{1}{y}=4\\18\dfrac{1}{x}-3\dfrac{1}{y}=6\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}-17\dfrac{1}{x}=-2\\\dfrac{1}{x}-3\dfrac{1}{y}=4\end{matrix}\right.\) <=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{17}{2}\\y=-\dfrac{17}{22}\end{matrix}\right.\)
Vậy S={(\(\dfrac{17}{2};-\dfrac{17}{22}\))}
a: Sửa đề:
\(\left\{{}\begin{matrix}3xy=2\left(x+y\right)\\4yz=3\left(y+z\right)\\5xz=6\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{4}{3}\\\dfrac{x+z}{xz}=\dfrac{5}{6}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{4}{3}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{y}=1\\\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3};y=1;z=3\)
b: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,ta được:
\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{9}=\dfrac{7x-3y+2z}{7\cdot4-3\cdot3+2\cdot9}=\dfrac{37}{37}=1\)
=>x=4; y=3; z=9
Lời giải:
$\left\{\begin{matrix}x^2(y-z)=\frac{-5}{3} (1)\\ y^2(z-x)=3 (2)\\ z^2(x-y)=\frac{1}{3} (3)\end{matrix}\right.$
Ta có "vòng đặc biệt" này: $(x^2y^2-z^2x^2)+(y^2z^2-x^2y^2)+(z^2x^2-y^2z^2)=0$.
Từ đó, ta lấy: $(1).(y+z)+(2).(z+x)+(3).(x+y)=0$, ta được: $y-z=\frac{5}{2}x$.
Thế vào phương trình đầu ta được: $x=-\sqrt[3]{\frac{2}{3}},\ y=-\sqrt[3]{18},\ z=-\frac{1}{\sqrt[3]{12}}$.
Lời giải:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=3\\ y+\frac{1}{z}=3\\ z+\frac{1}{x}=3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}\\ y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\\ z+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{y}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=\frac{y-z}{yz}\\ y-z=\frac{z-x}{xz}\\ z-x=\frac{x-y}{xy}\end{matrix}\right.(*)\) \(\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{x^2y^2z^2}\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\left(1-\frac{1}{x^2y^2z^2}\right)=0\)
Bây giờ ta xét các TH sau:
TH1: \(x-y=0\Rightarrow(*)\) kéo theo \(y-z=0\Rightarrow (*)\) kéo theo \(z-x=0\)
Do đó \(x=y=z\)
Thay vào pt ban đầu: \(x+\frac{1}{x}=3\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\)
Ta có bộ nghiệm \((x,y,z)=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) \)
TH2: \(\left[\begin{matrix} y-z=0\\ z-x=0\end{matrix}\right.\) (hoàn toàn tương tự TH1)
TH3: \(1-\frac{1}{x^2y^2z^2}=0\Leftrightarrow xyz=\pm 1\)
\(\bullet\)Nếu \(xyz=1\):
\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=3\\ y+\frac{1}{z}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=3\\ y+xy=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{y}=y+xy\Leftrightarrow x(y-1)+\frac{y^2-1}{y}=0\)
\(\Leftrightarrow (y-1)(x+\frac{y+1}{y})=0\)
+) \(y=1\Rightarrow x=2; z=\frac{1}{2}\), thử vào pt số 3 thấy không thỏa mãn (loại)
\(+) x+\frac{y+1}{y}=0\Leftrightarrow x+1+\frac{1}{y}=0\Leftrightarrow 3+1=0\) (vô lý- loại )
\(\bullet xyz=-1\)
\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=3\\ y-xy=3\\ \end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\frac{1}{y}=y-xy\Leftrightarrow (y+1)(x+\frac{1-y}{y})=0\)
+) Nếu \(y+1=0\Leftrightarrow y=-1\Rightarrow x=4; z=\frac{1}{4}\)
Thử lại vào pt thứ 3 thấy không đúng (loại )
+ Nếu \(x+\frac{1-y}{y}=0\Leftrightarrow x+\frac{1}{y}-1=0\Leftrightarrow 3-1=0\) (vô lý- loại )
Vậy \((x,y,z)=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) \)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{y}=3\left(1\right)\\y+\dfrac{1}{z}=3\left(2\right)\\z+\dfrac{1}{x}=3\left(3\right)\end{matrix}\right.\) đk : x,y,z khác 0
từ (1) \(x=3-\dfrac{1}{y};x\ne0\Rightarrow y\ne\dfrac{1}{3}\) (4)
từ (3) và (4) => \(z=3-\dfrac{1}{x}=3-\dfrac{1}{3-\dfrac{1}{y}}=3-\dfrac{y}{3y-1}=\dfrac{8y-3}{3y-1};z\ne0\Rightarrow y\ne\dfrac{3}{8}\) (5)
từ (5) và (2) => \(y+\dfrac{3y-1}{8y-3}=3\Leftrightarrow8y^2-3y+3y-1=3\left(8y-3\right)\)
\(\Leftrightarrow y^2-3y+1=0\) \(\Delta_y=9-4=5\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}y_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\\y_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đk y nhận
thế vào (4)=> \(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\\x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) thế vào (3) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\\z_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
Đơn giản vậy thôi cần gì biết đổi hầm hố phân ra nhiều các trường hợp rắc rối