LT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NH
1
AN
7 tháng 10 2019
TH y=0 \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=0\\x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\z=1\end{matrix}\right.\) nhanguyễn hoàng anh ghi nhầm y=1 rồi 
AN
7 tháng 10 2019
Đề:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\). Đề nhớ ghi đủ nha
Áp dụng hằng đẳng thức:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(\Leftrightarrow1-3xyz=1-xy-yz-zx\)
\(\Leftrightarrow3xyz=xy+yz+zx\)(1)
Lại có: \(1=x+y+z\)
\(\Rightarrow1=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=1+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)=0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: \(3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow xyz=0\)
\(\Rightarrow\) x=0 hoặc y=0 hoặc z=0
*Xét x=0, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}y+z=1\left(3\right)\\y^2+z^2=1\\y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\)
Từ \(\left(3\right)\Leftrightarrow y^2+z^2+2yz=1\)
\(\Leftrightarrow1+2xy=1\)
\(\Leftrightarrow2xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\z=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
Tương tự, ta giải các TH kia cũng vậy:
\(y=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=0\\x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
\(z=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của phương trình trên là:
\(\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;0;0\right);\left(0;1;0\right);\left(0;0;1\right)\right\}\)
HT
1
TN
20 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
Tương tự rồi cộng theo vế rồi rút gọn:
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
Tiếp tục use AM-GM:
\(x^2y^2+y^2z^2=y^2\left(x^2+z^2\right)\ge2xy^2z\)
Tương tự rồi cộng theo vế rồi rút gọn:
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow VT=x^4+y^4+z^4\ge3xyz=VP\left(vi`...x+y+z=3\right)\)
Khi \(x=y=z=1\)
PN
4 tháng 7 2020
a, Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
\(\Delta>0< =>\left(-2m\right)^2-4.\left(2m^2-1\right)>0\)
\(< =>4m^2-8m^2+4>0\)
\(< =>-4m^2+4>0\)
\(< =>m< 1\)
b, bạn dùng viet và phân tích 1 xíu là ok
4 tháng 7 2020
Ta có : \(x^2-2mx+2m^2-1=0\left(a=1;b=-2m;c=2m^2-1\right)\)
a, Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)
\(\left(-2m\right)^2-4\left(2m^2-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m^2+4>0\Leftrightarrow-4m^2+4>0\)
\(\Leftrightarrow-4m^2>-4\Leftrightarrow m< 1\)
b, Theo hệ thức Vi et ta có : \(\hept{\begin{cases}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{2m}{1}=2m\\P=x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2m^2-1}{1}=2m^2-1\end{cases}}\)
Ta có : \(x_1^3-x_1^2+x_2^3-x_2^2=2\)
Ta có thể viết là : \(x_1^3+x_2^3-\left(x_1^2+x_2^2\right)=2\)tương tự vs \(x_1^3+x_2^3-\left(x_1+x_2\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3-\left(2m\right)^2=2\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3-4m^2=2\)(*)
Phân tích nốt : cái \(x_1^3+x_2^3\)tớ ko biết phân tích thế nào, lm chỉ sợ sai
22 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
x4 + yz \(\ge\)\(2\sqrt{x^4yz}=2x^2\sqrt{yz}\); \(y^4+xz\ge2y^2\sqrt{xz}\); \(z^4+xy\ge2z^2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{2y^2\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{2z^2\sqrt{xy}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{xz}}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)
CM : x + y + z \(\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
\(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}.\frac{yz+xz+xy}{xyz}=\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
KN
31 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT Cauchy cho các cặp số dương, ta có: \(\Sigma\frac{x^2}{x^4+yz}\le\Sigma\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\Sigma\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)
\(\le\frac{1}{4}\Sigma\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\le\frac{1}{2}.\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
DT
0
Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\) với \(a=x,b=-y,c=-z\) ta được \(x^3-y^3-z^3-3xyz=\left(x-y-z\right)\left(x^2+y^2+z^2+xy-yz+zx\right)\) Thành thử \(x=y+z\) hoặc \(x^2+y^2+z^2+xy-yz+zx=0.\) Vì \(x,y,z\) là các số nguyên dương nên \(x^2+y^2+z^2+xy-yz+zx>x^2+z^2-xz\ge xz>0.\) Suy ra \(x=y+z\). Vì \(x^2=2\left(y+z\right)\to x^2=2x\to x=2\to y+z=2\to y=z=1.\) (Vì các số \(x,y,z\) nguyên dương).
Vậy \(\left(x,y,z\right)=\left(2,1,1\right).\)