Question

[Angela jolie]

Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+xy^2=y^6+y^4\\2\sqrt{y^4+1}+\frac{1}{x^2+1}=3-4x^3\end{matrix}\right.\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Từ PT $(1)$:

$\Rightarrow x(x^2+y^2)=y^6+y^4$

Nếu $x^2+y^2=0\Rightarrow x=y=0$ (thỏa mãn)

Nếu $x^2+y^2>0\Rightarrow x=\frac{y^6+y^4}{x^2+y^2}\geq 0$.

Cũng từ PT $(1)$:

\(\Leftrightarrow (x^3-y^6)+(xy^2-y^4)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y^2)(x^2+xy^2+y^4)+y^2(x-y^2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y^2)(x^2+xy^2+y^4+y^2)=0\)

TH1: $x-y^2=0\Leftrightarrow x=y^2\Rightarrow x\geq 0$

Thay vào PT $(2)$ ta có:

\(2\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}+4x^3=3\)

Thấy rằng:

\(2\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\geq 3\) theo BĐT AM-GM

\(4x^3\geq 0\) do $x\geq 0$

$\Rightarrow 2\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}+4x^3\geq 3$

Dấu "=" xảy ra khi $\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{x^2+1}$ và $x^3=0$ hay $x=0$

$\Rightarrow y^2=x=0\Rightarrow y=0$

Ta có cặp nghiệm $(x,y)=(0,0)$

TH2: $x^2+xy^2+y^4+y^2=0$

Vì $x\geq 0; y^2\geq 0$ nên $x^2+xy^2+y^4+y^2\geq 0$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y^2=0$ hay $x=y=0$.

Tóm lại hệ có nghiệm $x=y=0$