Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\hept{\begin{cases}\frac{x+y}{xyz}=\frac{1}{2}\\\frac{y+z}{xyz}=\frac{5}{6}\\\frac{z+x}{xyz}=\frac{2}{3}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}=\frac{5}{6}\\\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}=\frac{2}{3}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=2\\yz=6\\zx=3\end{cases}}\)
Làm nốt
bình phương vế 1 rồi lấy pt 2 thế vào :
\(\frac{2}{xy}\)=\(4+\frac{1}{z^2}\)
2/ \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-zx+xyz-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\z=1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P=0\)
\(x^2-\sqrt{x+5}=5\)
\(\Leftrightarrow x^2-5=\sqrt{x+5}\)
\(\Leftrightarrow x^4-10x^2+25=x+5\)
\(\Leftrightarrow x^4-10x^2-x+20=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x-5\right)\left(x^2+x-4\right)=0\)
Ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xyz}=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)(vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0\))
Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{x+y+z}=2\) .
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x+y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Từ đó suy ra P = 0 (lí do vì x,y,z là các số mũ lẻ)
Ta di chung minh
\(\frac{1}{x^2+y^2+1}+\frac{1}{y^2+z^2+1}+\frac{1}{z^2+x^2+1}\le1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+1}+\frac{y^2+z^2}{y^2+z^2+1}+\frac{z^2+x^2}{z^2+x^2+1}\ge2\)
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+3}\left(1\right)\)
Gio chung minh:
\(VT_{\left(1\right)}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}\right)^2\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)+6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)}+\sqrt{\left(y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2\right)}+\sqrt{\left(z^2+x^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge x^2+y^2+z^2+3\left(2\right)\)
Ta co:
\(\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)}=\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+y^2\right)}\ge zx+y^2\)
The same
\(\Rightarrow VT_2\ge x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\)
Chung minh:
\(VT_2\ge x^2+y^2+z^2+3\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\ge3\)
Ta lai co:
\(xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=3\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)
MaiLink hình như sai rồi bạn, dòng 5 bị ngược dấu