Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. \(\begin{cases}x+y+xy\left(2x+y\right)=5xy\\x+y+xy\left(3x-y\right)=4xy\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}2y-x=1\\x+y+xy\left(2x+y\right)=5xy\end{cases}\) (trừ 2 vế cho nhau)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=2y-1\\\left(2y-1\right)+y+\left(2y-1\right)y\left(4y-2+y\right)=5\left(2y-1\right)y\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=2y-1\\10y^3-19y^2+10y-1=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\)
ôi trờiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
1,\(x^2-2y^2-xy=0\)
<=> \(\left(x-2y\right)\left(x+y\right)=0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}x=2y\\x=-y\end{cases}}\)
Sau đó bạn thế vào PT dưới rồi tính
3. ĐKXĐ \(x\le1\); \(x+2y+3\ge0\)
.\(2y^3-\left(x+4\right)y^2+8y+x^2-4x=0\)
<=> \(\left(2y^3-xy^2\right)+\left(x^2-4y^2\right)-\left(4x-8y\right)=0\)
<=> \(\left(x-2y\right)\left(-y^2+x+2y-4\right)=0\)
Mà \(-y^2+2y-4=-\left(y-1\right)^2-3\le-3\); \(x\le1\)nên \(-y^2+x+2y-4< 0\)
=> \(x=2y\)
Thế vào Pt còn lại ta được
\(\sqrt{\frac{1-x}{2}}+\sqrt{2x+3}=\sqrt{5}\)ĐK \(-\frac{3}{2}\le x\le1\)
<=> \(\frac{1-x}{2}+2x+3+2\sqrt{\frac{\left(1-x\right)\left(2x+3\right)}{2}}=5\)
<=> \(\sqrt{2\left(1-x\right)\left(2x+3\right)}=-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\)
<=> \(\sqrt{2\left(1-x\right)\left(2x+3\right)}=-\frac{3}{2}\left(x-1\right)\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}x=1\\\sqrt{2\left(2x+3\right)}=\frac{3}{2}\sqrt{1-x}\end{cases}}\)=> \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-\frac{3}{5}\end{cases}}\)(TMĐK )
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;\frac{1}{2}\right),\left(-\frac{3}{5};-\frac{3}{10}\right)\)
Điều kiện : \(y^2-2\ge0;xy^2-2x-2\ge0\)
\(x^2+\left(y^2-y-1\right)\sqrt{x^2+2}-y^3+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+2}-y\right)\left(y^2+\sqrt{x^2+2}-1\right)=0\)
\(y=\sqrt{x^2+2}\Leftrightarrow\begin{cases}y\ge0\\y^2=x^2+2\end{cases}\) (Do \(y^2+\sqrt{x^2+2}-1>0\) với mọi x, y)
Thay \(y^2=x^2+2\) vào phương trình thứ 2 của hệ ta được phương trình như sau với điều kiện \(x\ge\sqrt[3]{2}\)
\(\sqrt[3]{x^2-1}-\sqrt{x^3-2}+x=0\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{x^2-1}-2\right)+x-3=\sqrt{x^3-2}-5\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left[\frac{x+3}{\sqrt[3]{\left(x^2-1\right)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}+1\right]=\frac{\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)}{\sqrt{x^3-2}+5}\)
\(\begin{cases}x=3\\\left[\frac{x+3}{\sqrt[3]{\left(x^2-1\right)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}+1\right]=\frac{\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)}{\sqrt{x^3-2}+5}\end{cases}\) (*)
Ta thấy :
#) \(\frac{x^2+3x+9}{\sqrt{x^3-2}+5}>2\Leftrightarrow x^2+3x-1>2\sqrt{x^3-2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x-1\right)^2>4\left(x^3-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)^2+\left(x-3\right)^2+5x^2>0\) với mọi x
#) \(\frac{x+3}{\sqrt[3]{\left(x^2-1\right)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}+1<2\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(x^2-1\right)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+1>x\) (**)
Đặt \(t=\sqrt[3]{x^2-1},t>0\), khi đó (**) trở thành :
\(t^2+2t+1>\sqrt{t^3+1}\Leftrightarrow\left(t^2+2t+1\right)^2>t^3+1\Leftrightarrow t^4+3t^3+6t^2+4t>0\)
Đúng với mọi t>0
Suy ra (*) vô nghiệm
Vậy hệ có 1 nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(3;\sqrt{11}\right)\)
\(\begin{cases}x^2\left(x-3\right)-y\sqrt{y-3}=-2\left(1\right)\\3\sqrt{x-2}=\sqrt{y\left(y+8\right)}\left(2\right)\end{cases}\) Điều kiện \(x\ge2;y\ge0\) (*)
Khi đó (1) \(\Leftrightarrow x^3-3x^2+2=y\sqrt{y+3}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3-3\left(x-1\right)=\left(\sqrt{y+3}\right)^3-3\sqrt{y+3}\left(3\right)\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=t^3-3t\) trên \(\left(1;+\infty\right)\)
Ta có \(f\left(t\right)=3t^2-3=3\left(t^2-1\right)\ge0\) với mọi \(t\ge1\) suy ra hàm số đồng biến trên \(\left(1;+\infty\right)\)
2)ĐK:x\(\ge\frac{1}{2}\)
pt(2)\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)^3\)+(y+1)=\(\left(2x\right)^3\)+2x
Xét hàm số: f(t)=\(t^3\)+t
f'(t)=3\(t^2\)+1>0,\(\forall\)t
\(\Rightarrow\)hàm số liên tục và đồng biến trên R
\(\Rightarrow\)y+1=2x
Thay y=2x-1 vào pt(1) ta đc:
\(x^2\)-2x=2\(\sqrt{2x-1}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+2\right)\left(1+\frac{4}{2x-2+2\sqrt{2x-1}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\)-4x+2=0(do(...)>0)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2+\sqrt{2}\Rightarrow y=3+2\sqrt{2}\\x=2-\sqrt{2}\Rightarrow y=3-2\sqrt{2}\end{array}\right.\)
4)ĐK:\(y\ge\frac{2}{3}\)
pt(1)\(\Leftrightarrow x-\sqrt{3y-2}=\sqrt{3y\left(3y-2\right)}-x\sqrt{x^2+2}\)
\(\Leftrightarrow x\left(\sqrt{x^2+2}+1\right)=\sqrt{3y-2}\left(\sqrt{3y}+1\right)\)
Xét hàm số:\(f\left(t\right)=t\left(\sqrt{t^2+2}+1\right)\)
\(\Rightarrow\)hàm số liên tục và đồng biến trên R
\(\Rightarrow x=\sqrt{3y-2}\)
Thay vào pt(2) ta đc:\(\sqrt{3y-2}+y+\sqrt{y+3}=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3y-2}-1+\sqrt{y+3}-2+y-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(\frac{3}{\sqrt{3y-2}+1}+\frac{1}{\sqrt{y+3}+2}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=1\)(do...)>0)
KL:...
\(\begin{cases}y^2-x\sqrt{\frac{y^2+2}{x}}=2x-2\left(1\right)\\\sqrt{y^2+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1\left(2\right)\end{cases}\)
Điều kiện \(x>0\)
Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \(x\) ta được :
\(\frac{y^2+2}{x}-\sqrt{\frac{y^2+2}{x}}-2=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{\frac{y^2+2}{x}=-1}\\\sqrt{\frac{y^2+2}{x}=2}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\frac{y^2+2}{x}=4\)
\(\Leftrightarrow y^2=4x+2\)
Thế vào phương trình (2) ta được : \(\sqrt{4x-1}+\sqrt[3]{2x-1}=1\)
Đặt \(\sqrt{4x-1}=u,\left(u\ge0\right),\sqrt[3]{2x-1}=v\) ta có hệ : \(\begin{cases}u+v=1\\u^2-2v^3=1\end{cases}\)
Giải hệ ta được \(u=1;v=0\Rightarrow x=\frac{1}{2};y=0\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : \(x=\frac{1}{2};y=0\)