Question

[Nguyễn Thị Như Ái 8_]

GIẢI GIÚP MÌNH BÀI NÀY VỚI MÌNH ĐANG CẦN GẤP!!!!!!!!!!!

Cho tứ giác ABCD có góc ABC=góc ADC và góc ABC+góc BCD<180 độ . Gọi E là giao điểm của 2 đường thẳng AB,CD . Chứng minh rằng : \(AC^2=CD.CE-AB.AE\)

Answer 1

[Trần Quốc Khanh]

Từ giao điểm 3 đường trung trực tgiac EAD vẽ đ/tròn tâm giao điểm đó, cắt AC tại I

Tứ giác IEDA nội tiếp nên CA.CI=CD.CD.CE

Mặt khác góc EIA=ADC=ABD nên tứ giác IECB nội tiếp nên ta có

CA.AI=AB.AE(1)

Trừ 1 cho 2 đc ĐPCM

Answer 2

[Trần Quốc Khanh]

Trên tia đối CA lấy điểm I sao cho góc AIE=ADC

Xét \(\Delta ADC\&\Delta EIC\) có

\(\widehat{ADC}=\widehat{AIE}\)

chung \(\widehat{ACD}\)

\(\Rightarrow\Delta ADC\sim\Delta EIC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AC}{EC}=\frac{DC}{IC}\Rightarrow AC.CI=EC.DC\left(1\right)\)

Xét \(\Delta BAC\&\Delta EAI\) có

\(\widehat{ABC}=\widehat{AIE}\left(=\widehat{ADC}\right)\)

\(\widehat{BAC}=\widehat{IAE}\left(dd\right)\)

Suy ra \(\Delta BAC\sim\Delta IAE\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AI}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow AC.AI=AB.AE\left(2\right)\)

Cộng (1) và (2) có \(AC\left(AI+IC\right)=AB.AE+CD.CE\Rightarrow AC^2=...\)