Question

[Đặng Hoàng]

Giải các phương trình sau :

\(d)2\sin2x=\sin x\)\(-\cos x-1\)

Answer 1

[Khôi Bùi]

(*) \(\Leftrightarrow4sinx.cosx+1=sinx-cosx\)

Đặt a = sin x ; b = cos x \(\left(-1\le a;b\le1\right)\) . Ta có : 

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=1\left(1\right)\\4ab+1=a-b\left(2\right)\end{cases}}\)

(2) <=> : \(a\left(4b-1\right)=-b-1\) 

TH 1 : \(b=\frac{1}{4}\) ko t/m

TH 2 : \(b\ne\frac{1}{4}\) ; ta có : \(a=\frac{b+1}{1-4b}\)

Thay vào (1) được : \(\left(\frac{b+1}{1-4b}\right)^2+b^2=1\Leftrightarrow\left(b+1\right)^2+b^2\left(1-4b\right)^2=\left(1-4b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow b^2+2b+1+b^2\left(16b^2-8b+1\right)=16b^2-8b+1\)

\(\Leftrightarrow16b^4-8b^3+2b^2+2b+1=16b^2-8b+1\)

\(\Leftrightarrow16b^4-8b^3-14b^2+10b=0\)

\(\Leftrightarrow8b^4-4b^3-7b^2+5b=0\)

\(\Leftrightarrow b\left(8b^3-4b^2-7b+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=0\\b=-1\end{cases}}\)

Với b = 0 ; suy ra : a = 1 ( t/m )  Suy ra L \(\hept{\begin{cases}sinx=1\\cosx=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\x=\frac{\pi}{2}+k\pi\end{cases}}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\) ( k thuộc Z )

Với b = - 1 ; suy ra a = 0 ; làm tương tự  

Ko chắc 

Answer 2

[Đoàn Đức Hà]

Đặt \(sinx-cosx=t,t\in\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]\).

\(\Rightarrow t^2=\left(sinx-cosx\right)^2=sin^2x+cos^2x-sin2x=1-sin2x\)

\(\Leftrightarrow sin2x=1-t^2\)

Phương trình ban đầu tương đương với: 

\(2\left(1-t^2\right)=t-1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\left(tm\right)\\t=-\frac{3}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)

Với \(t=1\):

\(sinx-cosx=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+k2\pi\\x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{cases}}\left(k\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{cases}}\left(k\inℤ\right)\)