Question

[Nguyễn Ngọc Trâm]

giải BPT : \(\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+3}\ge x^3+3x-1\) với x \(\in R\) ta đuuợc tập nghiệm là S = \(\left[\frac{a}{b};c\right]\) với a b c \(\in\) N*, phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản . khi đó a +b = ?

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

ĐKXĐ: \(x\ge\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow x^3-1+2x-1-\sqrt{3x-2}+x+1-\sqrt{x+3}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+\frac{4x^2-7x+3}{2x-1+\sqrt{3x-2}}+\frac{x^2+x-2}{x+1+\sqrt{x+3}}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+\frac{\left(x-1\right)\left(4x-3\right)}{2x-1+\sqrt{3x-2}}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x+1+\sqrt{x+3}}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+1+\frac{4x-3}{2x-1+\sqrt{3x-2}}+\frac{x+2}{x+1+\sqrt{x+3}}\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x-1\le0\) (ngoặc đằng sau luôn dương)

\(\Rightarrow x\le1\Rightarrow\frac{2}{3}\le x\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b=5\)