KQ
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
EC
4
13 tháng 10 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)
13 tháng 10 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) \(\left(ĐK:a>0;b>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (BĐT luôn đúng)
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
CM
1
LA
24 tháng 4 2019
BĐT svac
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)
TI
1
VT
5 tháng 2 2018
ta cần chứng minh BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) với x,y>0( cái này biến đổi tương đương sẽ ra)
Áp dụng ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+2}=\frac{4}{3}\left(ĐPCM\right)\)
^_^
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
VT
4 tháng 1 2018
Ta cần chứng minh BĐT phụ sau là : Với x,y>0 thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow y\left(x+y\right)+x\left(x+y\right)\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
dấu = xảy ra <=> x=y
Áp dụng BĐT phụ đó , ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+2}=\frac{4}{3}\)
dấu = xảy ra <=>a=b=1/2
4 tháng 1 2018
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}=\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\frac{1+1+1}{ab+a+b+1}=\frac{3}{ab+1+1}\)
\(=\frac{3}{a\left(1-a\right)+2}=\frac{3}{a-a^2+2}=\frac{3}{-\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{9}{4}}=\frac{3}{-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{4}}\)
\(\ge\frac{3}{\frac{9}{4}}=\frac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
29 tháng 4 2019
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\) (vì xy(x+y) >0 với x,y > 0)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( Đúng)
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 4 2019
Lời giải:
Xét hiệu:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq 0, \forall a,b>0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
MH
2
MT
28 tháng 2 2016
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow ab+b^2+a^2+ab\ge4ab\left(a,b>0\right)\)
<=>a2+b2-2ab\(\ge\)0
<=>(a-b)2\(\ge\)0(luôn đúng)
=>điều cần chứng minh
28 tháng 2 2016
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
(a + b) (a + b) \(\ge\) 4ab
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Mà a,b > 0 nên a + b > 0
=> \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{b.\left(a+b\right)}{ab.\left(a+b\right)}+\frac{a.\left(a+b\right)}{ab.\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab.\left(a+b\right)}\)
\(\Leftrightarrow\) \(ab+b^2+a^2+ab\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đpcm )
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)