Question

[Lê Song Phương]

Đố: Cho tứ giác ABCD có \(AC=m,BD=n\). Góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng \(\alpha\). Chứng minh rằng:

\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}mn\sin\alpha\). Từ đó hãy giải thích tại sao tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì có diện tích bằng nửa tích hai đường chéo.

Answer 1

[Xyz OLM]

Có hình vẽ :  A B C D H K o

Dễ thấy S_ABCD = \(\frac{1}{2}\left(AH+CK\right).BD\)

mà lại có \(AH=AO.sin\alpha\) ; \(CK=OC.sin\alpha\)

=> S_ABCD = \(\frac{1}{2}\sin\alpha.AC.BD\)

Khi 2 đường chéo vuông góc với nhau thì 

\(H\equiv O\equiv K\Rightarrow AH=AO=CK\)

hay \(sin\alpha=1\)

Khi đó \(S_{ABCD}=\frac{1}{2}mn\)(đpcm)