Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a+b+c+ab+bc+ca với a,b,c là...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 7 2021

\(T=x^4+y^4+z^4\)

áp dụng bđt bunhia cốp -xki với bộ số \(\left(x^2,y^2,z^2\right);\left(1,1,1\right)\)

\(\left(\left[x^2\right]^2+\left[y^2\right]^2+\left[z^2\right]^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)

\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\frac{\left(2xy+2yz+2xz\right)^2}{3}\)(bđt tương đương)

\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\frac{4}{3}\)

dấu "=" xảy rakhi và chỉ khi

\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{1}=\frac{y^2}{1}=\frac{z^2}{1}\\x=y=z=1\end{cases}< =>\frac{1^2}{1}=\frac{1^2}{1}=\frac{1^2}{1}}\)(luôn đúng)

vậy dấu "=" có xảy ra

\(< =>MIN:T=\frac{4}{3}\)

27 tháng 7 2021

sửa dòng 3 dưới lên 

\(T\ge\frac{\left(xy+yz+xz\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Vậy GTNN T là 1/3 khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

22 tháng 8 2017

Ta có: (xy)2=(x+y)24xy=20124xy(x−y)2=(x+y)2−4xy=2012−4xy

Như thế, để tìm GTNN,GTLN của xyxy, tương đương với việc ta tìm GTLN,GTNN của A=(xy)2=(|xy|)2A=(x−y)2=(|x−y|)2 hay cần tìm GTLN,GTNN của |xy||x−y|

Không mất tính tổng quát giả sử: xyx≥y thì: x101x≥101y100y≤100

Khi đó: |xy|=xy=x+y2y=2012y|x−y|=x−y=x+y−2y=201−2y

Ta có: 1y1001≤y≤100 nên: 1|xy|=2012y1991≤|x−y|=201−2y≤199

Lập luận đi ngược lại thì tìm được các cực trị

NV
27 tháng 7 2021

\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\Rightarrow-3\le a+b+c\le3\)

\(S=a+b+c+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+a+b+c-\dfrac{3}{2}\)

Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow-3\le x\le3\)

\(S=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x+1\right)^2-2\ge-2\)

\(S_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=-1\\a^2+b^2+c^2=3\end{matrix}\right.\) (có vô số bộ a;b;c thỏa mãn)

\(S=\dfrac{1}{2}\left(x^2+2x-15\right)+6=\dfrac{1}{2}\left(x-3\right)\left(x+5\right)+6\le6\)

\(S_{max}=6\) khi \(x=3\) hay \(a=b=c=1\)

27 tháng 5 2016

Sử dụng giả thiết ax−by=√3ax−by=3 ta có:

(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3

Áp dụng bất đẳng thức CauchyCauchy , suy ra:

a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2√(a2+b2)(x2+y2)=2√(ax+by)2+3a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2(a2+b2)(x2+y2)=2(ax+by)2+3

Do đó, ta đưa về bài toán tìm GTNN của: 2√x2+3+x2x2+3+x trong đó x=ax+byx=ax+by

Ta có:

(2√x2+3+x)2=4(x2+3)+4x√x2+3+x2=(x2+3)+4x√x2+3+4x2+9=(√x2+3+2x)2+9≥9(2x2+3+x)2=4(x2+3)+4xx2+3+x2=(x2+3)+4xx2+3+4x2+9=(x2+3+2x)2+9≥9

⇒2√x2+3+x≥3⇒2x2+3+x≥3

Vậy MinT=3MinT=3

27 tháng 5 2016

Sử dụng giả thiết ax−by=√3ax−by=3 ta có:

(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3

Áp dụng bất đẳng thức CauchyCauchy , suy ra:

a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2√(a2+b2)(x2+y2)=2√(ax+by)2+3a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2(a2+b2)(x2+y2)=2(ax+by)2+3

Do đó, ta đưa về bài toán tìm GTNN của: 2√x2+3+x2x2+3+x trong đó x=ax+byx=ax+by

Ta có:

(2√x2+3+x)2=4(x2+3)+4x√x2+3+x2=(x2+3)+4x√x2+3+4x2+9=(√x2+3+2x)2+9≥9(2x2+3+x)2=4(x2+3)+4xx2+3+x2=(x2+3)+4xx2+3+4x2+9=(x2+3+2x)2+9≥9

⇒2√x2+3+x≥3⇒2x2+3+x≥3

Vậy MinT=3MinT=3