Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D H K a, Vẽ phân giác AD của góc BAC
Kẻ BH\(\perp\)AD tại H ; CK\(\perp AD\) tại K
Dễ thấy \(sin\widehat{A_1}=sin\widehat{A_2}=sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{CK}{AC}=\dfrac{BH+CK}{AB+AC}\le\)\(\le\dfrac{BD+CD}{b+c}=\dfrac{a}{b+c}\)
b, Tượng tự \(sin\dfrac{B}{2}\le\dfrac{b}{a+c};sin\dfrac{C}{2}\le\dfrac{c}{a+b}\)
Mặt khác \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\)
\(\Rightarrow sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2}\le\dfrac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{8}\)
1)
Kẻ phân giác AD,BK vuông góc với AD
sin A/2=sinBAD
xét tam giác AKB vuông tại K,có:
sinBAD=BK/AB (1)
xét tam giác BKD vuông tại K,có
BK<=BD thay vào (1):
sinBAD<=BD/AB(2)
lại có:BD/CD=AB/AC
=>BD/(BD+CD)=AB/(AB+AC)
=>BD/BC=AB/(AB+AC)
=>BD=(AB*BC)/(AB+AC) thay vào (2)
sinBAD<=[(AB*BC)/(AB+AC)]/AB
= BC/(AB + AC)
=>ĐPCM
Lời giải:
Vì $abc=1$ nên tồn tại $x,y,z$ sao cho : \((a,b,c)=\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x}\right)\)
Khi đó:
\(\text{VT}=\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+2}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{xy+xz+2yz}}+\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{xy+yz+2xz}}+\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xz+yz+2xy}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}^2\leq (1+1+1)\left(\frac{yz}{xy+xz+2yz}+\frac{xz}{xy+yz+2xz}+\frac{xy}{xz+yz+2xy}\right)\)
\(\leq 3\left[\frac{yz}{4}\left(\frac{1}{xy+yz}+\frac{1}{xz+yz}\right)+\frac{xz}{4}\left(\frac{1}{xy+xz}+\frac{1}{xz+yz}\right)+\frac{xy}{4}\left(\frac{1}{xz+xy}+\frac{1}{yz+xy}\right)\right]\)
hay \(\text{VT}^2\leq \frac{3}{4}.\left(\frac{xy+yz}{xy+yz}+\frac{xy+xz}{xy+xz}+\frac{yz+xz}{yz+xz}\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=1$
theo de bai ta co \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\) suy ra ab+bc+ac=abc
\(\dfrac{a^2}{a+bc}=\dfrac{a^3}{a^2+abc}=\dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
nên vt =\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}\)
nx \(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\) >= \(\dfrac{3a}{4}\)
ttu vt>= \(\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}-\left(\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{a+c}{8}+\dfrac{b+c}{8}\right)\) =\(\dfrac{a+b+c}{4}\)
dau = say ra a=b=c=3
Lời giải:
Điều kiện: $a,b,c>0$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{a+b}{ab+c^2}=\frac{(a+b)^2}{(ab+c^2)(a+b)}=\frac{(a+b)^2}{a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)}\leq \frac{b^2}{a(b^2+c^2)}+\frac{a^2}{b(a^2+c^2)}\)
\(\frac{b+c}{bc+a^2}=\frac{(b+c)^2}{(b+c)(bc+a^2)}=\frac{(b+c)^2}{c(b^2+a^2)+b(a^2+c^2)}\leq \frac{b^2}{c(a^2+b^2)}+\frac{c^2}{b(a^2+c^2)}\)
\(\frac{c+a}{ca+b^2}=\frac{(c+a)^2}{(c+a)(ac+b^2)}=\frac{(c+a)^2}{c(a^2+b^2)+a(b^2+c^2)}\leq \frac{c^2}{a(b^2+c^2)}+\frac{a^2}{c(a^2+b^2)}\)
Cộng theo vế các BĐT trên:
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{b^2+c^2}{a(b^2+c^2)}+\frac{a^2+c^2}{b(a^2+c^2)}+\frac{b^2+a^2}{c(b^2+a^2)}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$