Question

[Alex Tran]

đề bài

Giả sử \(\zeta \left(\right. s \left.\right)\) là hàm zeta Riemann, được định nghĩa bởi công thức:

\(\zeta \left(\right. s \left.\right) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; s \in \mathbb{C} , \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \text{Re} \left(\right. s \left.\right) > 1\)

Hàm này có thể mở rộng thành một hàm phân tích (analytic continuation) trên toàn bộ mặt phẳng phức, trừ điểm \(s = 1\) là một điểm kỳ dị (singularity).

Answer 1

[Alex Tran]

lưu ý những câu hỏi của mình chỉ mang tính chất không có lời giải nếu là lớp 1

Answer 2

[Nguyễn Trung Đông]

*Trả lời :

Nhưng điều đặc biệt là:

Hàm zeta này có thể được mở rộng giải tích (analytic continuation) ra toàn bộ mặt phẳng phức, trừ điểm \(s = 1\) — là một điểm kỳ dị (singularity) loại cực đơn (simple pole).

---

cụ thể

• Với \(\text{Re} \left(\right. s \left.\right) > 1\): Dãy hội tụ và định nghĩa chuẩn xác theo công thức tổng.
• Với \(\text{Re} \left(\right. s \left.\right) \leq 1\): Ta dùng các phương pháp mở rộng giải tích, ví dụ như:
• • Biểu diễn tích Euler.
  • Sử dụng công thức hàm (functional equation).
  • Biểu thức tích phân hoặc liên quan đến hàm Gamma.

---

Tại \(s = 1\):

• Hàm zeta Riemann không xác định, vì:
  \(\zeta \left(\right. s \left.\right) sim \frac{1}{s - 1} + \gamma + \hdots \text{khi}\&\text{nbsp}; s \rightarrow 1\)
  Trong đó \(\gamma\) là hằng số Euler-Mascheroni.

Do đó, \(s = 1\) là một điểm kỳ dị loại cực đơn duy nhất của \(\zeta \left(\right. s \left.\right)\).