Question

[Phạm Trúc Linh]

 Đề bài :Cho Q là một điểm nằm trong \(\Delta ABC\).Chứng minh rằng:

\(\frac{AB+BC+CA}{2}< OA+OB+OC< AB+BC+CA.\)

Answer 1

[Bảo Ngọc]

Ta có:

A B C O

\(OA+OB< AC+BC\)

\(OA+OC< AB+BC\)

\(OC+OB< AB+AC\) 

Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta được :

\(2\left(OA+OB+OC\right)< 2\left(AB+AC+BC\right)\)

hay \(OA+OB+OC< AB+AC+BC\)(1)

Mặt khác trong các tam giác OAB,OBC,OCA,theo bất đẳng thức tam giác ta lại có :

\(OA+OB>AB\)

\(OB+OC>BC\)

\(OC+OA>AC\)

Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được :

\(2\left(OA+OB+OC\right)>AB+BC+AC\)

hay \(OA+OB+OC>\frac{AB+AC+BC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) :

\(\Rightarrow\frac{AB+AC+BC}{2}< OA+OB+OC< AB+AC+BC.\)