Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, vì M nằm ở trong tam giác ABC nên MC và MB nằm ở trong tam giác ABC
=) MC va MB lần lượt chia góc C và B làm 2 nửa
=) ^B = ^B1+ ^B2 ^C= ^C1+^C2
theo quan hệ giứa góc và cạnh đối diên có
ab tương ứng vs góc C, ac tương ứng vs góc B
MB .........................C1, MC B2
CÓ : ^B+^C > ^B2+^C2
=) AB+AC > MB+MC ( THEO QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN)
CON B THÌ CHỊU NHÉ
A B C M
a) Làm như bạn ly
b)Từ câu a) suy ra MB + MC < AB + AC;MA+MB < AC + BC
MA + MC < AB + BC
Cộng theo vế suy ra: \(2\left(MA+MB+MC\right)< 2\left(AB+BC+CA\right)\)
Suy ra \(MA+MB+MC< AB+BC+CA\) (1)
Mặt khác,áp dụng BĐT tam giácL
MB + MC > BC.Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế: \(2\left(MA+MB+MC\right)>AB+BC+CA\)
Chia hai vế cho 2: \(MA+MB+MC>\frac{AB+BC+CA}{2}\)
Ta có:
A B C O
\(OA+OB< AC+BC\)
\(OA+OC< AB+BC\)
\(OC+OB< AB+AC\)
Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta được :
\(2\left(OA+OB+OC\right)< 2\left(AB+AC+BC\right)\)
hay \(OA+OB+OC< AB+AC+BC\)(1)
Mặt khác trong các tam giác OAB,OBC,OCA,theo bất đẳng thức tam giác ta lại có :
\(OA+OB>AB\)
\(OB+OC>BC\)
\(OC+OA>AC\)
Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được :
\(2\left(OA+OB+OC\right)>AB+BC+AC\)
hay \(OA+OB+OC>\frac{AB+AC+BC}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) :
\(\Rightarrow\frac{AB+AC+BC}{2}< OA+OB+OC< AB+AC+BC.\)
a ) a.Vì P∈Trung trực của BC
\(\Rightarrow PB=PC\)
Ta có : AP là phân giác \(\widehat{BAC},PH\perp AB,PK\perp AC\Rightarrow PH=PK\)
Mà \(\widehat{PHB}=\widehat{PKC}=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta PBH=\Delta PCK\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow BH=CK\)
b ) Ta có : \(PH=PK,\widehat{PHA}=\widehat{PKA}=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta PHA=\Delta PKA\)(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow AH=AK\)
\(\Rightarrow\Delta AHK\) cân tại A
Mà AP là phân giác ^A
\(\Rightarrow AP\perp HK\)
Qua B kẻ BE // AK , \(E\in HK\)
\(\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{AKH}\)
Do \(\Delta AHK\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AKH}=\widehat{AHK}\)
\(\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{BHE}\Rightarrow BH=BE\)
Mà \(BH=CK\Rightarrow BE=CK\)
Lại có BE // CK => \(\widehat{EBM}=\widehat{MCK}\)
Do M là trung điểm BC \(\Rightarrow MB=MC\Rightarrow\Delta EBM=\Delta KCM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BME}=\widehat{KMC}\)
\(\Rightarrow\widehat{EMK}=\widehat{BME}+\widehat{BMK}=\widehat{CMK}+\widehat{BMK}=\widehat{BMC}=180^0\)
\(\Rightarrow E,M,K\) thẳng hàng
\(\Rightarrow H,M,K\) thẳng hàng vì E , H , K thẳng hàng
c ) Do \(PA\perp HK\) ( câu a )
\(\Rightarrow AP\perp HK=O\)
Kết hợp AH = AK \(\Rightarrow O\) là trung điểm HK
\(\Rightarrow OH=OK\)
\(\Rightarrow OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=OA^2+OP^2+OH^2+OH^2\)
\(=\left(OA^2+OH^2\right)+\left(OP^2+OH^2\right)\)
\(=AH^2+PH^2\)
\(=AP^2,\left(PH\perp AB\right)\)