Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1: có lẽ là thuộc R
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(A=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2\ge\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(\left(x+y\right)^2\right)^2\)
\(=\left(6^2\right)^2=36^2=1296\)
Khi \(x=y=\sqrt{3}\)
Bài 2:
Ta có:
\(\left(m^2+n^2\right)^2=\left(m^2-n^2\right)^2+\left(2mn\right)^2\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow m^4+2m^2n^2+n^4=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2\)
\(\Leftrightarrow m^4+2m^2n^2+n^4=m^4+2m^2n^2+n^4\) (luôn đúng)
Từ (1) suy ra \(a^2=b^2+c^2\)
Theo định lý py-ta-go đảo thì ta có đpcm
Bài 3:
a: \(\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)-x\left(x-4\right)\left(x+4\right)=21\)
\(\Leftrightarrow x^3-27-x\left(x^2-16\right)=21\)
\(\Leftrightarrow x^3-27-x^3+16x=21\)
=>16x=48
hay x=3
b: \(\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)-x\left(x^2+2\right)=4\)
\(\Leftrightarrow x^3+8-x^3-2x=4\)
=>-2x=4-8=-4
hay x=2
a: \(=x^3-3x^2+3x-1-x^3-64+3x^2-3x\)
=-65
b \(=8x^3+27y^3-8x^3+27y^3-54y^3+27\)
=27
c: \(=y\left(x^4-y^4\right)-y\left(x^4-y^4\right)=0\)
d: \(=x^3-3x^2+3x-1-x^3+1-3x\left(1-x\right)\)
\(=-3x^2+3x-3x+3x^2=0\)
Bài 3:
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\) \(\geq 2.\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{(x+y)^2}=8\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\left (\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\geq \frac{1}{2xy}+\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}\)
\(=\frac{1}{2xy}+\frac{4}{(x+y)^2}\)
Theo BĐT AM-GM:
\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2xy}\geq 2\)
Do đó \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2+4=6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Bài 1: Thiếu đề.
Bài 2: Sai đề, thử với \(x=\frac{1}{6}\)
Bài 4 a) Sai đề với \(x<0\)
b) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^4-x+\frac{1}{2}=\left (x^4+\frac{1}{4}\right)-x+\frac{1}{4}\geq x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^4=\frac{1}{4}\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý)
Do đó dấu bằng không xảy ra , nên \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)
Bài 6: Áp dụng BĐT AM-GM cho $6$ số:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)
5) a) Đặt b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z thì 2a=y+z;2b=x+z;2c=x+y
Ta có:
\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\ge6\)
Vậy ta suy ra đpcm
b) Ta có: a+b>c;b+c>a;a+c>b
Xét: \(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)
.Tương tự:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)
Vậy ta có đpcm
6) Ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge2ab+2cd+ab+cd=3\left(ab+cd\right)\)
\(ab+cd=ab+\dfrac{1}{ab}\ge2\)
Suy ra đpcm
Thêm gt \(x\in Z\)
a) \(x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=\left(x^2+1\right)^2-x^2=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)
\(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=3>0\)
\(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>\left(1-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=1>0\)
\(\Rightarrow x^4+x^2+1=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)>3.1=3\)và \(\in Z\)
\(\Rightarrow x^4+x^2+1\)là hợp số.
b) \(x^4+4x=x\left(x^3+4\right)>1\left(1^3+4\right)=5\)và \(\in Z\)
\(\Rightarrow x^4+4x\)là hợp số.
Phần b) mình nhầm chút:
\(x^4+4x=x\left(x^3+4\right)\)
\(\hept{\begin{cases}x>1>0\\x^3+4>1^3+4=5>0\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^4+4x=x\left(x^3+4\right)>1.5=5\)và \(\in Z\)
\(\Rightarrow x^4+4x\)là hợp số.