PN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PN
14 tháng 2 2016
\(2b.\)
Với mọi \(m;n\in Z\), ta có:
\(mn\left(m^4-n^4\right)=mn\left[\left(m^4-1\right)-\left(n^4-1\right)\right]=mn\left(m^4-1\right)-mn\left(n^4-1\right)\)
\(\text{*)}\) Xét \(mn\left(m^4-1\right)=mn\left(m^2-1\right)\left(m^2+1\right)\)
\(=mn\left(m^2-1\right)\left[\left(m^2-4\right)+5\right]\)
\(=mn\left(m^2-1\right)\left(m^2-4\right)+5mn\left(m^2-1\right)\)
\(mn\left(m^4-1\right)=mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)+5mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)
Vì \(m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)\) là tích của \(5\) số nguyên liên tiếp nên \(m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)\) chia hết cho \(2;3\) và \(5\)
Mà \(\left(2;3;5\right)=1\)
Do đó, \(m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)\) chia hết cho \(2.3.5=30\) \(\left(1\right)\)
Mặt khác, \(m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\) chia hết cho \(6\) (tích của \(3\) số nguyên liên tiếp)
nên \(5mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)\) chia hết cho \(30\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) , suy ra \(mn\left(m^4-1\right)\) chia hết cho \(30\) \(\left(\text{*}\right)\)
Tương tự, ta cũng chứng minh \(mn\left(n^4-1\right)\) chia hết cho cho \(30\) \(\left(\text{**}\right)\)
Từ \(\left(\text{*}\right)\) và \(\left(\text{**}\right)\) suy ra \(mn\left(m^4-n^4\right)\) chia hết cho \(30\) với mọi \(m;n\in Z\)
PN
14 tháng 2 2016
Đề câu \(a.\) sai rồi nha bạn!
Ví dụ, với \(n=2\) thì \(3^{2.2+1}+2^{2.2+2}=3^5+2^6=307\) không chia hết cho \(7\) (vô lí)
Hiển nhiên, với công thức tổng quát \(3^{2n+1}+2^{2n+2}\) sẽ không chia hết cho \(7\) với \(n=2\)
\(-------------\)
\(a.\) \(3^{2n+1}+2^{n+2}=3^{2n}.3+2^n.2^2\)
\(=9^n.3+2^n.4\)
\(=9^n.3-2^n.3+2^n.3+2^n.4\)
\(=3\left(9^n-2^n\right)+2^n\left(3+4\right)\)
\(=3\left(9^n-2^n\right)+2^n\left(3+4\right)\)
\(=3\left(9-2\right)\left(9^{n-1}+9^{n-2}.2+9^{n-3}.2^2+...+2^{n-1}\right)+7.2^n\)
\(3^{2n+1}+2^{n+2}=3.7M+7.2^n\)
Vì \(3.7M\) chia hết cho \(7\) và \(7.2^n\) chia hết cho \(7\) nên \(3.7M+7.2^n\) chia hết cho \(7\)
Vậy, \(3^{2n+1}+2^{n+2}\) chia hết cho \(7\)
PN
14 tháng 2 2016
\(2.\) Tính chất: Trong \(n\) số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho \(n\)
Giả sử \(n,\) \(n+1,...,\) \(n+1899\) là dãy \(1900\) số tự nhiên liên tiếp \(\left(1\right)\)
Xét \(1000\) số tự nhiên liên tiếp từ \(n,\) \(n+1,...,\) \(n+999\) \(\left(2\right)\) thuộc dãy số \(\left(1\right)\)
Theo tính chất trên, sẽ có một số chia hết cho \(1000\)
Giả sử số đó là \(n_0\), khi đó \(n_0\) có tận cùng là \(3\) chữ số \(0\) và \(m\) là tổng các chữ số của \(n_0\)
Khi đó, ta xét \(27\) số tự nhiên gồm:
\(n_0,\) \(n_0+9,\) \(n_0+19,\) \(n_0+29,\) \(n_0+39,...,\) \(n_0+99,\) \(n_0+199,...,\) \(n_0+899\) \(\left(3\right)\)
Sẽ có tổng các chữ số gồm \(27\) số tự nhiên liên tiếp là \(m,\) \(m+1,\) \(m+2,...,\) \(m+26\)
Do đó, có \(1\) số chia hết cho \(27\)
Vậy, trong \(1900\) số tự nhiên liên tiếp có \(1\) số có tổng các chữ số chia hết cho \(27\)
S2
Tim n voi so tu nhien,cmr
a,5n+2 + 26 . 5n + 82n+1 chia het cho 59
b,7 . 52n + 12 . 6n chia het cho 19
0
HP
1
10 tháng 1 2016
= n(n+2)(5n-1)(5n+1)
CMR: n(n+2)(5n+1)(5n+1) chia hết cho 8,3 là ra
OP
8 tháng 8 2016
\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
n lẻ
=> n - 1 và n + 1 chẵn
Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8
=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)
LC
1
MQ
12 tháng 4 2020
Ta có:
(n2+3n+1)2-1
= (n2+3n+1-1)(n2+3n+1+1)
= (n2+3n)(n2+3n+2)
=(n2+3n)(n2+n+2n+2)
=(n2+3n)(n(n+1)+2(n+1))
=n(n+1)(n+2)(n+3)
với mọi n thuộc N thì n(n+1)(n+2)(n+3) là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp
=> tồn tại 2 số chia hết cho 2 và chia hết cho 4 => chia hết cho 8
tồn tại một số chia hết cho 3
mà BCNN(8;3)=24 => n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 24
nên (n2+3n+1)2-1 chia hết cho 24 với mọi n thuộc N
Chúc bạn học tốt.
27 tháng 3 2016
1,
A = n^5 - 5n^3 + 4n = n.(n^4 - 5n^2+4)
= n.( n^4 - 4n^2 - n^2 + 4)
= n.[ n^2.(n^2 - 1) - 4.(n^2 - 1)
= n.(n^2) . (n^2 - 4)
= n.(n-1).(n+1).(n+2).(n-2)
A chia hết cho 120 (vìđây là 5 số liên tiếp, vì thế nó chia hết cho 2, 3, 4, 5. Mà 2.3.4.5=120 nên A chia hết cho 120 Với mọi n thuộc Z.)
PN
14 tháng 2 2016
Đặt \(P=111...111222...222\), ta có:
\(P=111...111222...222\) (có \(100\) số \(1\) và \(100\) số \(2\) )
\(=111...111000...000+222...222\) (có \(100\) số \(1\), \(100\) số \(0\) và \(100\) số \(2\) )
\(=111...111.10^{100}+2.111...111\)
\(P=111...111\left(10^{100}+2\right)\)
Đặt \(111...111=k\), \(\Rightarrow\) \(9k=999...999\) (có \(100\) số \(9\) ) nên \(9k+1=1000...000=10^{100}\)
Do đó, \(P=k\left(9k+1+2\right)=k\left(9k+3\right)=3k\left(3k+1\right)\)
Mà \(3k\) và \(3k+1\) lại là \(2\) số tự nhiên liên tiếp nên suy ra điều phải chứng minh.
Ta có \(\left(n^2+n-1\right)^2-1=\left(n^2+n-1-1\right)\left(n^2+n-1+1\right).\)
\(=\left(n^2+n-2\right)\left(n^2+n\right)\)
\(=\left(n^2-n+2n-2\right)\left(n^2+n\right)\)
\(=\text{[}n\left(n-1\right)+2\left(n-1\right)\text{]}n\left(n+1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+2\right)n\left(n+1\right)\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Vì \(n-2;n-1;n;n+1\)là 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 và 8
\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) chia hết cho 24
\(\Rightarrow\left(n^2+n-1\right)^2-1\)chia hêt cho 24