Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(S=1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{9}+......1-\frac{1}{n^2}=n-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+....\frac{1}{n^2}\right)\Rightarrow S< n\)
mặt khác \(S=n-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)>n-\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n-1\right)}\right)=n-\left(1-\frac{1}{n}\right)\)
suy ra \(S>n-1+\frac{1}{n}\Rightarrow S>n-1\)
vậy ta có \(n-1< S< n\)nên S không thể là số nguyên.
Ta có:
S=1−14 +1−19 +......1−1n2 =n−(14 +19 +....1n2 )⇒S<n
mặt khác S=n−(122 +132 +...+1n2 )>n−(11.2 +12.3 +...+1n(n−1) )=n−(1−1n )
suy ra
S>n−1+1n ⇒S>n−1
vậy ta có n−1<S<nnên S không thể là số nguyên.
Đặt \(A=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
Ta có : \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}>0\)
\(\Rightarrow A>1+0=1\)(1)
Ta lại có :
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< 1+1-\frac{1}{100}< 2\)(2)
Từ (1) và (2) => 1<A<2
=> A không phải là số tự nhiên
Ta có : \(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{100^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+.......+\frac{1}{99.100}\)
\(\Leftrightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{100^2}< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+.......+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1+1-\frac{1}{100}\)\(=\frac{199}{100}< 2\)
Lại có : \(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{100^2}>1\)
Nên : \(1< 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{100^2}< 2\)
Vậy \(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{100^2}\) ko phải là số tự nhiên
\(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{99^2}\)
\(\Rightarrow M< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{98.99}\)
\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\)
\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{99}< 1\)
Dễ thấy M > 0 nên 0 < M < 1
Vậy M không là số tự nhiên.
\(S=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow S>\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+...+\frac{1}{100}\) (50 số hạng \(\frac{1}{100}\))
\(\Rightarrow S>\frac{1}{100}.50=\frac{1}{2}\)
Vậy \(S>\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
\(H=\frac{1}{a^2}+\frac{2}{a^3}+\frac{3}{a^4}+...+\frac{n}{a^{n+1}}\)
\(H=\frac{a^{n-1}+2.a^{n-2}+...+\left(n-1\right).a+n}{a^{n+1}}\)
\(H=\frac{1}{a^{n+1}}.\left[\left(a^{n-2}+a^{n-2}+a+1\right)+\left(a^{n-2}+a^{n-3}+...+a+1\right)+...+\left(a+1\right)+1\right]\)
Đặt \(Sn=1+a+a^2+...+a^n\)=>\(a.Sn=a+a^2+a^3+...+a^n+a^{n+1}\)
=> \(a.Sn-Sn=a^{n+1}-1\)=>\(Sn.\left(a-1\right)=a^{n+1}-1\)=>\(Sn=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\)
Khi đó \(H=\frac{1}{a^{n+1}}.\left[\frac{a^n-1}{a-1}+\frac{a^{n-1}-1}{a-1}+...+\frac{a^2-1}{a-1}+\frac{a-1}{a-1}\right]\)
\(H=\frac{1}{a^{n+1}}.\left[\frac{a^n+a^{n-1}+...+a+1-\left(n+1\right)}{a-1}\right]\)
\(H=\frac{1}{a^{n+1}}.\left[\frac{a^n+a^{n-1}+...+a+1}{a-1}-\frac{n-1}{a-1}\right]\)
\(H=\frac{1}{a^{n+1}}.\left[\frac{a^{n+1}-1}{\left(a-1\right)^2}-\frac{n-1}{a-1}\right]\)
\(H=\frac{1}{a^{n+1}}.\left[\frac{a^{n+1}}{\left(a-1\right)^2}-\frac{1}{a-1}-\frac{n+1}{a-1}\right]\)
\(H=\frac{1}{\left(a-1\right)^2}-\frac{1}{a^{n+1}.\left(a-1\right)^2}-\frac{n+1}{a^{n+1}.\left(a-1\right)}< \frac{1}{\left(a-1\right)^2}\)(đpcm)
Xong rồi đó , phù.......
Câu 1 :
Ta có :
\(A=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{9999}{10000}\)
\(A=\frac{4-1}{4}+\frac{9-1}{9}+\frac{16-1}{16}+...+\frac{10000-1}{10000}\)
\(A=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{100^2-1}{100^2}\)
\(A=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{4^2}{4^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{100^2}{100^2}-\frac{1}{100^2}\)
\(A=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{100^2}\)
\(A=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)
Do từ \(2\) đến \(100\) có \(100-2+1=99\) số \(1\) nên :
\(A=99-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)< 99\) \(\left(1\right)\)
Đặt \(B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\) lại có :
\(B< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(B< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(B< 1-\frac{1}{100}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(A=99-B>99-1=98\)
\(\Rightarrow\)\(A>98\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(98< A< 99\)
Vậy A không phải là số nguyên
Chúc bạn học tốt ~
Đặt A = 1/1^2+1/2^2+.....+1/n^2
Có : A = 1+1/2^2+1/3^2+.....+1/n^2 > 1 (1)
Lại có : A < 1 + 1/1.2 + 1/2.3 + ........ + 1/(n-1).n
= 1 + 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ....... + 1/n-1 - 1/n
= 2 - 1/n < 2 (2)
Từ (1) và (2 => 1 < A < 2
=> A ko phải là 1 số tự nhiên
Tk mk nha
Đặt A = 1/1^2+1/2^2+.....+1/n^2
Có : A = 1+1/2^2+1/3^2+.....+1/n^2 > 1 (1)
Lại có : A < 1 + 1/1.2 + 1/2.3 + ........ + 1/(n-1).n
= 1 + 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ....... + 1/n-1 - 1/n
= 2 - 1/n < 2 (2)
Từ (1) và (2 => 1 < A < 2
=> A ko phải là 1 số tự nhiên
gọi d là ƯC(3n-2; 4n-3)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n-2⋮d\\4n-3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4\left(3n-2\right)⋮d\\3\left(4n-3\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}12n-8⋮d\\12n-9⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\) \(\left(12n-8\right)-\left(12n-9\right)\) \(⋮\) \(d\)
\(\Rightarrow\) \(12n-8-12n+9\) \(⋮\) \(d\)
\(\Rightarrow\) \(\left(12n-12n\right)+\left(9-8\right)\) \(⋮\) \(d\)
\(\Rightarrow\) \(0+1\) \(⋮\) \(d\)
\(\Rightarrow\) \(1\) \(⋮\) \(d\)
\(\Rightarrow\) \(d\inƯ\left(1\right)=1\)
\(\Rightarrow\) \(\text{3n-2 và 4n - 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{3n-2}{4n-3}\) là phân số tối giản
1/ Đặt ƯCLN(3n - 2; 4n - 3) = d
=> \(3n-2⋮d\)và \(4n-3⋮d\)
hay \(4.\left(3n-2\right)⋮d\)và \(3.\left(4n-3\right)⋮d\)
hay \(12n-8⋮d\)và \(12n-9⋮d\)
\(\Leftrightarrow\left(12n-8\right)-\left(12n-9\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow12n-8-12n+9⋮d\)
\(\Leftrightarrow-8+9⋮d\)
Vậy \(1⋮d\)hay \(d\inƯ\left(1\right)=\left\{1\right\}\)
=> 3n - 2 và 4n - 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> phân số \(\frac{3n-2}{4n-3}\)tối giản.