LL
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
9 tháng 3 2019
\(8\left(a^4+b^4\right)+\frac{1}{ab}=8\left(a^4+b^4+0,5^4+0,5^4\right)+\frac{1}{ab}-1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(8\left(a^4+b^4\right)+\frac{1}{ab}\ge8.4.\sqrt[4]{a^4.b^4.0,5^4.0,5^4}+\frac{1}{ab}-1=8.ab+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge2.\sqrt{8ab.\frac{1}{2ab}}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}-1=4+2-1=5\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
9 tháng 3 2019
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}+b^2+2+\frac{1}{b^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz và AM-GM ta có: ( link c/m Cauchy-schwarz: Xem câu hỏi )
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+2.\sqrt{\frac{1}{a^2}.4}+2.\sqrt{\frac{1}{b^2}.4}-4=\frac{1}{2}+2.\frac{2}{a}+2.\frac{2}{b}-4\ge\frac{1}{2}+\frac{\left(2+2\right)^2}{a+b}-4=12,5\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
Theo mình đề bài là chứng minh \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge12,5\)
Tham khảo nhé~
EC
4
13 tháng 10 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)
13 tháng 10 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) \(\left(ĐK:a>0;b>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (BĐT luôn đúng)
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
T
6 tháng 9 2019
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
CM
1
LA
24 tháng 4 2019
BĐT svac
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)
KQ
0
TA
3 tháng 4 2017
c) Ta có a + b > 1 > 0 (1)
Bình phương 2 vế: \(\left(a+b\right)^2>1\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2+2ab+b^2>1\) (2)
Mặt khác \(\left(a-b\right)^2\ge0\) \(\Rightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) (3)
Cộng từng vế của (2) và (3): \(2\left(a^2+b^2\right)>1\) \(\Rightarrow\) \(a^2+b^2>\frac{1}{2}\) (4)
Bình phương 2 vế của (4): \(a^4+2a^2b^2+b^4>\frac{1}{4}\) (5)
Mặt khác \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\) \(\Rightarrow\) \(a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\) (6)
Cộng từng vế của (5) và (6): \(2\left(a^4+b^4\right)>\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(a^4+b^4>\frac{1}{8}\) (đpcm).
TA
3 tháng 4 2017
1/ Áp dụng hẳng đẳng thức \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2\) là ra bạn nhé
\(A=\left[\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)\right]\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(=\left[\left(3^4-1\right)\left(3^4+1\right)\right]\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(=\left[\left(3^8-1\right)\left(3^8+1\right)\right]\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(=\left[\left(3^{16}-1\right)\left(3^{16}+1\right)\right]\left(3^{32}+1\right)\)
\(=\left(3^{32}-1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(=3^{64}-1\)
MH
2
MT
28 tháng 2 2016
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow ab+b^2+a^2+ab\ge4ab\left(a,b>0\right)\)
<=>a2+b2-2ab\(\ge\)0
<=>(a-b)2\(\ge\)0(luôn đúng)
=>điều cần chứng minh
28 tháng 2 2016
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
(a + b) (a + b) \(\ge\) 4ab
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Mà a,b > 0 nên a + b > 0
=> \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)
\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{8}\) (dpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)