Question

[Phạm Lê Đức Anh]

CMR: x²+2x +4y²=37 không có nghiệm nguyên

Answer 1

[Phùng Minh Quân]

Giả sử pt có nghiệm x, y nguyên 

theo định lý Fermat thì 37 là số nguyên tố lẻ đồng đồng dư với 1 (mod 4) nên 37 viết đc dưới dạng tổng 2 số chính phương 

\(37=1^2+6^2=x^2+2x+4y^2\)

do 4y² là số chính phương nên \(x^2+2x\) là số chính phương 

TH1: \(\hept{\begin{cases}x^2+2x=1\\4y^2=36\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2=2\left(1\right)\\y=\pm3\end{cases}}\)

Có x nguyên => \(\left(x+1\right)^2\) là số chính phương, mà 2 ko là số chính phương nên ko tồn tại x nguyên thoả mãn (1) 

TH2: \(\hept{\begin{cases}x^2+2x=36\\4y^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2=37\\y=\pm\frac{1}{2}\end{cases}}\) (loại do y nguyên) 

từ 2 TH => điều giả sử sai => pt đề bài ko có nghiệm nguyên