Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu b:
Ta có: \(x^2 + 4y^2 + z^2 - 2x - 6z + 8y + 15\)
\(= (x^2 - 2x +1) + (4y^2 - 8y + 4) + (z^2 - 6z +9) +1\)
\(= (x-1)^2 + (2y-2)^2 + (z-3)^2 + 1\)
Mà \((x-1)^2 \geq 0; (2y-2)^2 \geq 0; (z-3)^2\geq 0\)
\(\implies\) \((x-1)^2+(2y-2)^2 +(z-3)^2\geq 0\)
\(\implies\)\((x-1)^2+(2y-2)^2 +(z-3)^2+1> 0\)
A=4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y2z2
A=4x(x+y+z)(x+y)(x+z)+y2z2
A=(4x2+4xy+4xz)(x2+xz+xy+yz) +y2z2
A=4(x2+yx+xz)(x2+yz+xz+yz)+y2z2
đặt x2+yz+z=a
=>A=4a(a+yz)+y2z2
A=4a2+4ayz+y2z2
A=(2a+yz)2
MÀ (2a+yz)2\(\ge\)0
=>A \(\ge\)0 với mọi x,y,z thuộc R
a/ \(\frac{x}{2}=\frac{y}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{4}=\frac{y^2}{16}=\frac{x^2+y^2}{20}=\frac{2000}{20}=100\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-20\\x=20\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=-40\\y=40\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}z=-50\\z=50\end{cases}}\)
b/ \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=\frac{2y-4}{6}=\frac{3z-9}{12}=\frac{x-2y+3z-1+4-9}{2-6+12}=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=5\\z=7\end{cases}}\)
a, \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}\Rightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{25}\)
Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{25}=\dfrac{x^2+y^2}{4+16}=\dfrac{2000}{20}=100\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=100.4=400\\y^2=100.16=1600\\z^2=100.25=2500\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm20\\y=\pm40\\z=\pm50\end{matrix}\right.\)
Do \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=20\\y=40\\z=50\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=-20\\y=-40\\z=-50\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
b, \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{4}=\dfrac{2y-4}{6}=\dfrac{3z-9}{12}\)
Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{4}=\dfrac{2y-4}{6}=\dfrac{3z-9}{12}\)
\(=\dfrac{x-1-2y+4+3z-9}{2-6+12}=\dfrac{14-6}{8}=\dfrac{8}{8}=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=1.2=2\\y-2=1.3=3\\z-3=1.4=4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=5\\z=7\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
c, \(x-z=-2\Rightarrow x+2=z\)
Do đó \(y.z=12\Leftrightarrow y.\left(x+2\right)=12\Rightarrow xy+2y=12\Rightarrow6+2y=12\)
\(\Rightarrow y=3\Rightarrow x.3=6\Rightarrow x=2\Rightarrow2-z=-2\Rightarrow z=4\)
Vậy x=2; y=3; z=4
1 ) Đề bài > not \(\ge\)
Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :
\(x^2+y^2+8>xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+16>2xy+4x+4y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+8>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8>0\left(1\right)\)
Do \(\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8\ge8>0\forall x;y\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm
2 ) ĐK : a ; b ; c không âm
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ( cái này bạn áp dụng BĐT Cô - si để c/m ) , ta có :
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{6.2}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
3 ) Áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số không âm , ta có :
\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\left(1\right)\)
\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2+3\ge2xy+2yz+2xz+2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z+2xy+2xz+2yz\right)=2.6=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
a/ \(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
b/ \(\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
c/ BĐT sai
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) \(\forall x;y;z\in R\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge0\)\(\forall x;y;z\in R\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)\(\forall x;y;z\in R\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)\(\forall x;y;z\in R\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)\(\forall x;y;z\in R\) ( luôn đúng)
đpcm
Tham khảo nhé