Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)( bđt cauchy )
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)( bđt cauchy )
\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}{\left(x+y\right)^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
bài 1 ta có x+y+z=0 suy ra y+z=-x
(-x)2=x2=(y+z)2=y2+2yz+z2
suy ra
\(\frac{1}{y^2+z^2-x^2}=\frac{1}{-2yz}\)
tương tự ta có \(\frac{1}{-2yz}+\frac{1}{-2xy}+\frac{1}{-2xz}=\frac{-1}{2}\left(\frac{x+z+y}{xyz}\right)=\frac{-1}{2}\left(\frac{0}{xyz}\right)\)
bài 2 bạn ghi đề không rõ ràng nên mình không giải
Tại sao lại \(\frac{1}{y^2+z^2-x^2}\)=\(\frac{1}{-2yz}\)
a/ \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(2+x^2+y^2\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2+x^2+y^2+2xy+xy\left(x^2+y^2\right)\ge2+2x^2+2y^2+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2-2xy\right)-\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ Để biểu thức xác định \(\Rightarrow x\ne0\Rightarrow x^2\ge1\)
\(4=\frac{y^2}{4}+x^2+\frac{1}{x^2}+x^2\ge\frac{y^2}{4}+2\sqrt{\frac{x^2}{x^2}}+1\ge\frac{y^2}{4}+3\)
\(\Rightarrow\frac{y^2}{4}\le1\Rightarrow y^2\le4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2=0\\y^2=1\\y^2=4\end{matrix}\right.\)
\(y^2=0\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=4\Rightarrow2x^4-4x^2+1=0\) (ko tồn tại x nguyên tm)
\(y^2=1\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=3\Rightarrow2x^4-3x^2+1=0\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=...\)
\(y^2=4\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=0\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn
Đặt \(\text{ }t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Ta có: \(\text{|}t\text{|}=\text{|}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\text{|}=\text{|}\frac{x}{y}\text{|}+\text{|}\frac{y}{x}\text{|}\)
Mà \(\text{|}\frac{x}{y}\text{|}+\text{|}\frac{y}{x}\text{|}\ge2\sqrt{\text{|}\frac{x}{y}\text{|}.\text{|}\frac{y}{x}\text{|}}=2\) (bất đẳng thức Cauchy)
Do đó, \(\text{|}t\text{|}\ge2\) \(\Leftrightarrow\) \(t\le-2\) hay \(t\ge2\)
Khi đó, \(t^2=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2=\frac{x^2}{y^2}+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\)
Bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(t^2+2\ge3t\) \(\Leftrightarrow\) \(t^2-3t+2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\) \(\left(\text{**}\right)\)
Vì bất đẳng thức \(\left(\text{**}\right)\) hiển nhiên luôn đúng với \(t\le-2\) hay \(t\ge2\). Mặt khác, các phép biển đổi trên tương đương
nên bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) được chứng minh với mọi \(x,y\ne0\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y\)