Câu hỏi của Tran Gia Dinh

Question

CMR : Với mọi số tự nhiên n thì trong hai số $2^{n+2}-1$ và $2^n+1$ có một và chỉ một số chia hết cho 3

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

Xét tích: $\left(2^{n+2}-1\right)\left(2^n+1\right)=\left(4.2^n-1\right)\left(2^n+1\right)=\left[3.2^n+\left(2^n-1\right)\right]\left(2^n+1\right)$

$=3.2^n\left(2^n+1\right)+\left(2^n-1\right)\left(2^n+1\right)=3.2^n\left(2^n+1\right)+\left(4^n-1\right)$

Ta có $\left(4^n-1\right)=\left(1+3\right)^n-1=B\left(3\right)+1-1=B\left(3\right)$ (với $B\left(3\right)$ là bội của 3)

$\Rightarrow4^n-1⋮3$

$\Rightarrow3.2^n\left(2^n+1\right)+\left(4^n-1\right)⋮3$

$\Rightarrow\left(2^{n+2}-1\right)\left(2^n+1\right)⋮3$, do đó ít nhất một trong hai số $2^{n+2}-1$ hoặc $2^n+1$ phải chia hết cho 3 (1)

Mặt khác xét hiệu $2^{n+2}-1-\left(2^n+1\right)=3.2^n-2$ không chia hết cho 3 nên hai số trên không cùng số dư khi chi cho 3 (2)

Từ (1),(2) suy ra trong hai số $2^{n+2}-1$ và $2^n+1$ có một và chỉ một số phải chia hết cho 3

Câu trả lời: