Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(x+2\right)+2x+3\)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên hiển nhiên nó liên tục trên R
Ta có: \(f\left(1\right)=5\) ; \(f\left(-2\right)=-1\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-2\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;1\right)\) với mọi m
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
a.
- Với \(m=\pm1\Rightarrow-6x=1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}\) có nghiệm
Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)
- Với \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\Rightarrow1-m^2>0\)
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(1-m\right)^2x^3-6x-1\right]\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-m^2-\dfrac{6}{m^2}-\dfrac{1}{m^3}\right)=-\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)
- Với \(-1< m< 1\Rightarrow1-m^2< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left[\left(1-m^2\right)-\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}\right]=+\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)
Vậy pt đã cho có nghiệm với mọi m
b. Để chứng minh pt này có đúng 1 nghiệm thì cần áp dụng thêm kiến thức 12 (tính đơn điệu của hàm số). Chỉ bằng kiến thức 11 sẽ ko chứng minh được
c.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5\)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R
\(f\left(2\right)=4-5=-1< 0\)
\(f\left(3\right)=6-5=1>0\)
\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(3\right)< 0\) với mọi m
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2;3) với mọi m
Hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm
a/ \(sin^2x+sinx-3=m\)
Đặt \(sinx=t\Rightarrow-1\le t\le1\Rightarrow t^2+t-3=m\)
Xét \(f\left(t\right)=t^2+t-3\) trên \(\left[-1;1\right]\)
\(f\left(-1\right)=-3;\) \(f\left(1\right)=-1\) ; \(f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{13}{4}\)
\(\Rightarrow-\frac{13}{4}\le f\left(t\right)\le-1\)
\(\Rightarrow\) Để pt có nghiệm thì \(-\frac{13}{4}\le m\le-1\)
b/ Tương tự ta được \(-2\le m\le2\)
c/ \(\Leftrightarrow2cos^2x-1-cosx+m=0\)
\(\Leftrightarrow2t^2-t-1=-m\) với \(t=cosx\)
Giống câu a, ta được \(-\frac{9}{8}\le-m\le2\Rightarrow-2\le m\le\frac{9}{8}\)
d/\(\Leftrightarrow sinx=\frac{-2m+3}{2}\)
\(-1\le sinx\le1\Rightarrow-1\le\frac{-2m+3}{2}\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le m\le\frac{5}{2}\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=\left(2m^2+3m+4\right)x^4+x-1\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(f\left(1\right)=2m^2+3m+4=2\left(m+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{23}{8}>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng \(\left(0;1\right)\) với mọi m hay pt đã cho luôn có nghiệm
Xét \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)x\left(x-2\right)\left(x+2\right)+x^3-3x+1\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R
\(f\left(-2\right)=-1< 0\)
\(f\left(0\right)=1>0\)
\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;0\right)\)
\(f\left(1\right)=-1< 0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\)
\(f\left(2\right)=3>0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;2\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 3 nghiệm thực pb
chịu anh lớp 11 ạ