DP
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 6 2021
Lời giải:
$x^5+y^5+z^5=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)-[x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)]$
Mà:
$x^3+y^3+z^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3$
$=(-z)^3-3xy(-z)+z^3=3xyz$
Và:
\(x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)\)
\(=x^2y^2(x+y)+y^2z^2(y+z)+z^2x^2(z+x)=-x^2y^2z-y^2z^2x-x^2y^2z\)
\(=-xyz(xy+yz+xz)=-xyz[\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}]=\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
Do đó: \(x^5+y^5+z^5=3xyz(x^2+y^2+z^2)-\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{5xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
\(\Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)\)
Ta có đpcm.
S
30 tháng 10 2018
Ta có: x+y+z=0 => x3+y3+z3=3xyz (tự c/m)
Mặt khác \(x+y+z=0\Leftrightarrow x+y=-z\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(-z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=z^2\Leftrightarrow x^2+y^2=z^2-2xy\)
Tương tự ta cũng có: \(y^2+z^2=x^2-2yz;z^2+x^2=y^2-2zx\)
Lại có: \(\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=x^5+x^3y^2+x^3z^2+y^3x^2+y^5+y^3z^2+z^3x^2+z^3y^2+z^5\)
\(=x^5+y^5+z^5+x^3\left(y^2+z^2\right)+y^3\left(x^2+z^2\right)+z^3\left(x^2+y^2\right)\)
\(=x^5+y^5+z^5+x^3\left(x^2-2yz\right)+y^3\left(y^2-2xz\right)+z^3\left(z^2-2xy\right)\)
\(=x^5+y^5+z^5+x^5-2x^3yz+y^5-2xy^3z+z^5-2xyz^3\)
\(\Rightarrow3xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)=2\left(x^5+y^5+z^5\right)-2xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)=2\left(x^5+y^5+z^5\right)\) (đpcm)
NT
2
29 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=1\)
Vậy ............
TT
1
23 tháng 4 2018
xét hiệu
\(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}-\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{9}\ge0\)
<=> \(\dfrac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}{9}-\dfrac{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}{9}\ge0\)
=> \(3x^2+3y^2+3z^2-x^2-y^2-z^2-2yx-2yz-2xz\ge0\)
<=> \(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\)
<=>\(\left(x^2-2yx+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)\ge0\)
<=> (x-y)2 +(y-z)2 +(x-z)2 ≥ 0 (luôn đúng )
=> đpcm
x + y + z = 0 ⇒ x 3 + y 3 + z 3 = 3 x y z ⇒ ( x 3 + y 3 + z 3 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 3 x y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ x 5 + y 5 + z 5 + x 2 y 2 ( x + y ) + y 2 z 2 ( y + z ) + z 2 x 2 ( z + x ) = 3 x y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ x 5 + y 5 + z 5 − x y z ( x y + y x + z x ) = 3 x y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ 2 ( x 5 + y 5 + z 5 ) = 5 x y z ( x 2 + y 2 + z 2)
rất hợp lý