Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$x^3+y^3+z^3-3xyz=0$
$\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz=0$
$\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)=0$
$\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)=0$
$\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0$
Đến đây xét 2TH:
TH1: $x+y+z=0$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=-z\\ y+z=-x\\ x+z=-y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow B=-16+(-3)+(-2038)=-2057\)
TH2: $x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0$
$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}=0$
$\Rightarrow (x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0$
$\Rightarrow x=y=z$ (vô lý vì $x,y,z$ đôi một khác nhau)
Vậy.......
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2-3xy\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x=y=z\end{matrix}\right.\)
- Nếu \(x+y+z=0\Rightarrow B=\frac{-16z}{z}-\frac{3x}{x}-\frac{2038y}{y}=...\)
- Nếu \(x=y=z\Rightarrow B=\frac{16.2z}{z}+\frac{3.2x}{x}+\frac{2038.2y}{y}=...\)
Đề chưa chuẩn: tuy nhiên đánh vào -2016 => đáp án đúng:
Vì bản chất như sau:
thỏa ĐK ban đầu x^3+y^3+z^3=3xzy
Từ HĐT=>
\(\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\left(1\right)\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\left(2\right)\end{cases}}\)
=>(1)&(2) đều có cặp nghiệm x=y=z=0 khi đó P không xác định
do vậy đề thiếu điều kiện x,y,z không đồng thời =0:(*)
Nếu thêm đk (*) giải tiếp
(2) vô nghiệm
do vậy khi đó chỉ có nghiệm duy nhất của (1)
x+y=-z
x+z=-y
z+y=-x
Thay vào biểu thwucs P=-2016
Ta có: x3+y3+z3=3xyz
<=> x3+y3+z3-3xyz = 0
<=> (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=0
Do x,y,z dương nên x+y+z dương khi đó:
(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=0
=> x2+y2+z2-xy-yz-zx = 0
<=> 2x2-2y2-2z2-2xy-2yz-2xz = 0
=> (x-y)2+(y-z)2+(z-x)2 = 0
Do (x-y)2≥ 0 ; (y-z)2 ≥ 0 ; (z-x)2 ≥ 0 Nên: (x-y)2+(y-z)2+(z-x)2 = 0
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=z\\z=x\end{matrix}\right.\)
Vậy nếu ba số x,y,z là ba số dương thỏa mãn
x3+y3+z3=3xyz thì x=y=z.